Задача 2 – Геометрические характеристики плоских сечений

Задание. Для заданного в таблице 2 поперечного сечения, состоящего из швеллера и равнополочного уголка, или из двутавра и равнополочного уголка, или швеллера и двутавра (рисунок 4), требуется:

1) определить положение центра тяжести;

2) найти осевые и центробежный моменты инерции относительно осей (Z_c и Y_c), проходящих через центр тяжести сечения;

3) определить направление главных центральных осей (V и U);

4) найти моменты инерции относительно главных центральных осей;

5) вычертить сечение в масштабе 1: 2 и указать на нем все оси и размеры в числах.

Таблица 2 – Исходные данные к задаче 2

Рисунок 4 – Вид сечений

При расчете все необходимые геометрические и другие данные профилей следует брать из таблиц сортамента прокатной стали [2, 3, 4, 5, 6, 7].

В сечении, состоящем из двух фигур, центр тяжести всего сечения находится на отрезке, соединяющем центры тяжести этих фигур (ближе к большей).

Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции сечения. Осевые моменты инерции относительно таких осей имеют экстремальные значения – один J_max, другой J_min и называются главными моментами инерции.

Если есть хотя бы одна ось симметрии фигуры, то эта ось и перпендикулярная к ней центральная ось являются главными центральными и, соответственно, центробежный момент инерции такой фигуры равен нулю.

Центробежные моменты инерции уголков приведены в соответствующих стандартах [6, 7]. Их значения являются положительными в том случае, если зев уголка с его центром тяжести располагается во втором или четвертом квадранте координатных осей, проведенных по боковым граням уголка. Отрицательное значение центробежный момент инерции принимает в первом и третьем квадрантах.

Пример 2. Для поперечного сечения, состоящего из швеллера и равнополочного уголка (рисунок 5) рассмотрим поставленные выше вопросы.

Рисунок 5 – Поперечное сечение

Примечание – при расчете все необходимые данные следует брать из таблиц сортамента стального проката, разбивая сложное сечение на прокатные профили (ни в коем случае не заменять части профилей прямоугольниками).

Данные для расчета:

Фигура 1 – швеллер № 20 ГОСТ 8240-97 (рисунок 6):

h мм; А см ;

в мм; z см;

J см⁴; J см .

Фигура 2 – уголок 80 80 8 ГОСТ 8509–93

в мм; А см ;

z см; J J ;

J см .

Рисунок 6 – Геометрические размеры сечений

Решение

1. Определим положение центра тяжести сложного сечения (рисунок 5). Разобьем сложное сечение на составляющие фигуры 1 и 2. За вспомогательные оси сечения выберем систему координат Z Y₂. Это удобно, так как в системе этих осей координаты центров тяжести элементарных фигур не будут принимать отрицательных значений. Найдем координаты центра тяжести сложного сечения по формулам:

; y ,

где , – суммарные статические моменты инерции эле-

ментарных фигур относительно вспомогатель-

ных осей Z Y₂.

z cм;

см;

В этом случае согласно рисунка 5:

z см; z =0;

= 0; у cм.

Полученные координаты центра тяжести сечения отложим от вспомогательных осей Z₁ Y₂ и через найденную точку проведем центральные оси Z_с Y_с параллельно осям Z Y .

2. Найдем величины осевых и центробежных моментов инерции сечения относительно центральных осей Z_с Y_с. Для этого используем формулы перехода от центральных осей к параллельным:

;

;

, (1)

где , осевые и центробежные моменты

инерции элементарных фигур от-

носительно центральных осей

всей сложной фигуры;

, – осевые моменты инерции этих же фигур относи-

тельно собственных центральных осей. Эти ве-

личины найдены по таблицам сортамента прокат-

ных профилей;

координаты центров тяжести швеллера и уголка от-

носительно центральных осей всего сечения;

– центробежные моменты инерции швеллера и уголка

относительно собственных центральных осей.

Как видно из рисунка 5,

см;

см;

см;

см.

Поскольку оси Z Y являются главными осями сечения швеллера, то .

Для определения знака уголка пользуемся правилом: если зев уголка с его центром тяжести располагается в 1 или 3 квадрантах координатных осей, центробежный момент инерции принимается отрицательным, если в 2 или 4 квадрантах – положительным. В нашем случае зев уголка расположен в 3 квадранте, значит

J см .

Подставив численные значения в формулы (1), получим:

2075 м⁴;

см⁴;

= – 313, 3 см⁴.

3. Определим направление главных центральных осей V и U. Угол наклона главных центральных осей V и U к осям Z_c и Y_с найдем по формуле:

Тогда 2 = 20, 4˚; =10, 2˚.

Поворачивая оси Ζ _с и Y_с против часовой стрелки (при положительном значении угла α) на угол α = 10, 2˚, получаем положение главных центральных осей (рисунок 5).

4. Найдем величины моментов инерции относительно главных центральных осей по формуле:

.

Подставив числовые значения, получим:

Ось максимума (V) наклонена под меньшим углом к той из центральных осей, относительно которой центральный момент инерции сечения больше. В нашем случае

,

значит угол α получается между осями Z_c и V.

Выполним проверку по известному равенству

,

2130 .

Следовательно, задача решена верно.