Задача 6 – Внецентренное сжатие

Задание. Чугунный короткий стержень, заданное поперечное сечение которого выбирается из рисунка 26, сжимается продольной силой F, приложенной в точке А. Требуется:

1) вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения в поперечном сечении, выразив эти напряжения через F и размеры сечения;

2) найти допускаемую нагрузку F при заданных размерах сечения и допускаемых напряжениях для чугуна на сжатие [σ ]_с и на растяжение [σ ]_р.

Данные взять из таблицы 6.

Рисунок 26 – Поперечные сечения стержней

Таблица 4 – Исходные данные к задаче 6

Пример 6. Проведем решение задания для чугунного короткого стержня, поперечное сечение которого изображено на рисунке 27.

Рисунок 27 – Поперечное сечение стержня

Данные для расчета

а = 0, 1 м; в = 0, 2 м; _р = 30 МПа; _с = 120 МПа.

Решение

1. Вычислим наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения в поперечном сечении.

Наибольшие нормальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Для их определения нужно найти положение этой линии в отрезках, отсекаемых ею на осях Y и Z (рисунок 28):

Рисунок 28 – Расчетная схема поперечного сечения стержня

а_z= ; а_y = ,

где z_F, y_F – координаты точки приложения силы относительно

центральных осей;

i _z = и i_y = – главные радиусы инерции сечения.

Для определения положения центральных осей вычислим координаты центра тяжести сечения

,

где A₁ – площадь полукруга;

A₂ – площадь прямоугольника;

z₁ и z₂ – координаты центров тяжестей в системе координат Z Y₁.

A₁ =

A₂ =

z₁ = 0; z₂ = c +

Следовательно,

Координата у _с = 0, так как сечение симметрично относительно оси Z. Тогда координаты точки А в центральной системе координат Z Y определяют так:

у_А = у_F = а = 0, 1 м; z_A = z_F = –z _c+ c = – 0.102 + .

Найденные центральные оси являются для данного сечения главными центральными, так как одна из них совпадает с осью симметрии. Определим главные моменты инерции, воспользовавшись формулами параллельного переноса:

=0, 11a⁴+

=

J_z = J_z1 + J _z2 =

Тогда

м ².

Теперь найдем положение нейтральной линии в отрезках, отсекаемых ею на осях координат Y Z:

Наиболее удаленные от нейтральной линии точки определим, проведя касательные к контуру сечения, параллельные этой линии. Точки касания В и D являются искомыми точками. Найдем их координаты:

у_в = – а = – 0, 1 м;

Угол определим из отношения

tg .

Тогда у_D = 0, 1

.

С учетом направления оси Z получим z_D = – 0, 0863 м.

Вычислим наибольшие сжимающие напряжения в точке D и растягивающие – в точке В.

.

2. Определим допускаемую нагрузку из условия прочности растянутых волокон

.

Отсюда

Рассчитаем допускаемую нагрузку из условия прочности сжатых волокон

Отсюда

Меньшее из двух полученных значений нагрузки примем за допускаемое