Задача 5 – Расчет статически неопределимых балок

Задание. Для одной из балок, изображенной на рисунке 19, требуется:

1) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов ;

2) выполнить статическую и кинематическую проверки;

3) подобрать двутавровое сечение при ;

4) определить прогибы в середине межопорного пролета и на

конце консоли.

Данные взять из таблицы 5.

Для раскрытия статической неопределимости балки необходимо воспользоваться методом сил.

Рисунок 19 – Расчетные схемы статически неопределимых балок

Пример 4. Проведем решение задания для балки, изображенной на рисунке 20.

Решение

1) Находим степень статической неопределимости (число опор-

ных связей минус число уравнений равновесия) . Данная балка один раз статически неопределима.

Таблица 5 – Исходные данные к задаче 5

Рисунок 20 – Заданная система балки

2) Выбираем основную систему. Для этого отбросим шарнирную опору и приложим в этом сечении неизвестную силу (рисунок 21).

Рисунок 21 – Основная система балки

3) Составляем каноническое уравнение по методу сил:

.

4) Для определения перемещения от действия единичной на-

грузки и перемещения от действия заданной нагрузки предварительно построим эпюры изгибающих моментов в основной системе при единичном и грузовом состоянии.

Рассмотрим единичное состояние. Для этого построим единичную эпюру (рисунок 22).

Рисунок 22 – Единичное состояние балки

Для дальнейших расчетов нам необходимы будут значения моментов на концах и в серединах участков балки (). На единичной эпюре укажем значение этих моментов, вычисленных как произведение единичной силы на расстояние от нее до рассматриваемой точки ().

Рассмотрим грузовое состояние основной системы (рисунок 23).

Вычислим значение моментов в сечениях:

т. : ;

т. ;

т. ;

т. ;

Рисунок 23 – Грузовое состояние балки

т. : ;

т. : .

По найденным значениям строим эпюру (рисунок 23).

Для определения перемещения воспользуемся формулой Мора:

.

Вычисление интеграла осуществляем по правилу Верещагина, «умножая» эпюру саму на себя:

,

где площадь единичной эпюры на участке;

ордината единичной эпюры на уровне ее центра тяжести,

Перемещение определяем «перемножением» эпюр и , используя формулу Симпсона:

,

где длина участка балки;

значения моментов грузовой эпюры в нача-

ле, средине и конце участка;

значение моментов единичной эпюры в нача-

ле, средине и конце участка.

Напомним, что результат «перемножения» однозначных эпюр является положительным, а разнозначных – отрицательным.

Из уравнения находим :

.

Строим скорректированную (исправленную) эпюру (рисунок 24).

Для этого значения эпюры (рисунок 22) умножаем на .

Строим окончательную эпюру моментов (рисунок 24). Для этого складываем эпюры (рисунок 24) и (рисунок 23).

Рисунок 24 – Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил

Проведем кинематическую проверку правильности решения. Для этого «перемножим» эпюру (рисунок 24) с единичной эпюрой (рисунок 22), т.е. определим прогиб основной системы в сечении .

Прогиб в сечении основной системы равен нулю, что соответствует условию ее деформации. Следовательно, задача решена правильно.

Для построения эпюры поперечных сил используем основную систему и найденное значение .

Вычисляем поперечные силы .

Участок : ;

, , .

Участок : ;

, , .

Участок : ;

, .

По найденным значениям строим эпюру (рисунок 24). Следует отметить, что по эпюрам и можно определить значения реакций в защемлении балки (, ).

Подбираем сечение балки из условия прочности по нормальным напряжениям (опасное поперечное сечение находится над опорой ):

;

.

Принимаем двутавр № 18 .

.

Перегруз балки составляет № 18

,

что находится в пределах допустимого (5 %).

Для определения прогиба заданной балки в сечении используем принятую ранее основную систему и произведем ее расчет на действие единичной силы , приложенной по направлению искомого прогиба. Соответствующая единичная эпюра изгибающего момента приведена на рисунке 25.

«Перемножая» эпюры и , получим

.

Прогиб балки в точке направлен вниз, т. е. совпадает с направлением единичной силы.

Для определения прогиба балки в точке приложим в этой точке единичную силу , направленную вниз. Эпюра изгибающего момента изображена на рисунке 25.

Рисунок 25 – К определению прогибов балки

«Перемножая» эпюры и , получим

Знак минус означает, что прогиб балки в сечении направлен не вниз по направлению единичной силы , а вверх.

Упругая линия балки изображена на рисунке 25. Причем точки ее перегиба, в которых кривизна оси меняет знак, совпадают с точками пересечения линии эпюры с нулевой линией (в точках изменения знака эпюры).