Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Основные понятия

2.1.1 Для изучения функций нескольких переменных необходимы некоторые понятия, связанные с геометрией на плоскости и в пространстве.

Совокупность n чисел называется упорядоченной, если указано, какое из чисел считается первым, какое – вторым, и т.д. . Множество всевозможных упорядоченных совокупностей n чисел называется n-мерным координатным пространством и обозначается . Каждая упорядоченная совокупность называется точкой этого пространства, а числа координатами точки.

Расстояние между двумя произвольными точками и определяется формулой .(1)

Координатное пространство с введенным по формуле (1) расстоянием между точками называется n-мерным евклидовым пространством.

Евклидово пространство представляет собой прямую, - плоскость, - трехмерное пространство, в котором введены прямоугольные системы координат. Принадлежность точки пространству обозначается .

2.1.2 Множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству

,

называется открытым кругом радиуса a с центром в точке .

Множество же точек , координаты которых удовлетворяют неравенствам

,

называется открытым прямоугольником.

2.1.3 Любой открытый круг радиуса или открытый квадрат со стороной длины с центром в точке называется δ -окрестностью этой точки.

Окрестностью точки “ ” (обозначается ) называется множество всех точек таких, что

.

Это обозначается так: .

2.1.4 Аналогично, множество точек , для которых выполняется неравенство

,

называется n -мерным открытым шаром радиуса a с центром в точке .

Множество же точек , координаты которых удовлетворяют неравенствам

.

называется n -мерным открытым параллелепипедом.

2.1.5 Любой открытый n -мерный шар радиуса δ или куб с центром в точке и длиной ребра 2δ называется n -мерной δ -окрестностью этой точки.

2.1.6 Мы рассматривали открытые шары и кубы, но это же верно и для замкнутых шаров и кубов. Только все неравенства, с помощью которых они определялись, будут нестрогими.

Пусть D - некоторое множество точек пространства . Точка называется внутренней точкой множества D, если существует δ -окрестность точки P такая, что она полностью включается в множество D

.

Точка P называется граничной точкой множества D, если в любой ее δ -окрестности содержатся как точки из множества D, так и точки, не принадлежащие множеству D. Совокупность граничных точек называется границей и обозначается или , т.е. .

Множество D называется замкнутым, если , т.е. любая граничная точка включается в множество D.

Множество D называется открытым, если все его точки внутренние.

Множество D называется связным, если любые его две точки можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей D.

Связное открытое множество называется областью.

Множество D называется ограниченным, если существует такая δ -окрестность начала координат , что все точки множества D принадлежат ей.