Непрерывность функции

2.4.1 Пусть функция определена в некоторой δ – окрестности точки , в том числе в самой точке . Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в точке существует и равен значению функции в этой точке, т.е. .

Функцию называют непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Условие непрерывности в точке можно записать в эквивалентной форме:

.

Можно ввести приращение функции :

.

Это означает, что условие непрерывности функции в точке эквивалентно выполнению равенства

.

Понятия предела и непрерывности для функции нескольких переменных аналогичны соответствующим понятиям для функции одной переменной, поэтому основные теоремы для непрерывных функций одной переменной остаются справедливыми и для функции нескольких переменных, при этом роль отрезка играет замкнутое множество.

2.4.2 Точка множества, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва функции. Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва (для ) и т.д.

Пример. 2.4.2.1Функция непрерывна при любых значениях x и y, т.е. в любой точке плоскости . Действительно, преобразовав функцию

,

найдем приращение функции

,

следовательно,

.

Пример.2.4.2.2 Найти точки разрыва функции

.

Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в ноль. Поэтому она имеет поверхность разрыва - плоскость .

Заметим, что разрыв в точке , где , можно устранить, положив

= ,

т.е. точка является точкой устранимого разрыва.

Пример.2.4.2.3 Найти точки разрыва функции

.

Заметим, что разрыв в точке , где можно устранить, положив

= ,

т.е. точка - точка устранимого разрыва.

Пример.2.4.2.4 Найти точки разрыва функции

.

Функция определена всюду, кроме точки . Рассмотрим значение z вдоль прямой :

.

Подходя к точке по различным прямым, мы будем получать различные предельные значения, зависящие от k. Это значит, что функция не имеет предела в точке . Функцию нельзя доопределить в этой точке так, чтобы она стала непрерывной. Следовательно, эта точка является точкой неустранимого разрыва.