Дифференциал высшего порядка функции нескольких независимых переменных

Пусть функция имеет вторые непрерывные частные производные. Второй дифференциал от нее определяется равенством

,

при этом дифференциалы dx, dy рассматриваются как не зависящие от x y и дифференциал 2-го порядка функции z вычисляется по формуле .

Для функции большего числа переменных с использованием сокращенного обозначения символа суммирования получим следующую формулу:

.

Так как , то второй дифференциал от нее представляет собой квадратичную форму относительно независимых дифференциалов : k=1, …, n. Отметим, квадратичной формой от переменных : k=1, …, n называется функция вида

, где , - числа.

Для дифференциала n-го порядка функции двух независимых переменных при наличии соответствующих производных справедлива следующая символическая формула:

, которая формально развертывается по биномиальному закону. Вообще, дифференциал произвольного порядка от функции z для независимых дифференциалов определяется по индукции при помощи рекуррентного соотношения

,

где берутся для независимых дифференциалов , которые к тому же рассматриваются при вычислениях как постоянные. В многомерном случае имеет место аналогичная символическая формула

.