![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Достаточное условие локального экстремума
Пусть в некоторой окрестности стационарной точки Если в этой точке второй дифференциал Если в точке Во всех остальных случаях в точке
Пример.2.9.4.1 Исследовать на локальный экстремум функцию
Решение. Область определения данной функции – вся плоскость Частные производные функции:
Для определения координат стационарных точек функции составляем систему уравнений Отсюда Проверим выполнение достаточных условий существования экстремума в точках
который представлен квадратичной формой от дифференциалов Вторые частные производные данной функции:
Рассмотрим точку В точке
Пример. 2.9.4.2 Исследовать на экстремум функцию
Решение. Необходимые условия существования экстремума выполняются в тех точках области определения данной функции, координаты которых удовлетворяют системе уравнений
Отсюда геометрическое место критических точек есть прямая Определим знак приращения функции Поскольку Так как
2. 9.5 Условный экстремум
Рассмотрим функцию Эти соотношения называются условиями связи. Пусть координаты точки Функция
выполняется неравенство (соответственно Один из методов решения задач на условный экстремум метод Лагранжа. Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию не безусловный экстремум функции Лагранжа:
постоянные При этом знак второго дифференциала
где
Решение. Графиком функции Решим эту задачу через функцию Лагранжа: и исследуем ее на безусловный экстремум. Стационарные точки функции т.е. условный экстремум исследуемой функции совпадает с безусловным экстремумом функции Проверим выполнение достаточных условий существования экстремума в стационарной точке
откуда Так как при этом
2. 9.6 Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции
Если функция Для того, чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции в замкнутой области, нужно найти все максимумы или минимумы функции, достигаемые внутри этой области, а также наибольшее или наименьшее значение функции на границе области. Наибольшее из всех этих чисел и будет наибольшим значением, а наименьшее – наименьшим. В задачах на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на некоторой линии, решая задачу исследования функции на условный экстремум.
Пример.2.9.6 Найти наибольшее и наименьшее значения функции Решение. Так как область задания функции Исследуем функцию на экстремум внутри области задания функции. Критические точки найдем, решая систему уравнений Заметим, что только точка Проверим выполнение достаточных условий существования экстремума в точке
Так как Исследуем функцию на границе области, которая состоит из отрезка оси
Необходимое существование экстремума этой функции выполняется при Проверим выполнение достаточного условия существования экстремума функции Так как Кроме того, на концах отрезка
Эти же значения являются наибольшими и наименьшими значениями функции Сравним значение функции
|