Скалярное поле. Поверхности и линии уровня

Если в каждой точке области пространства определено значение некоторой величины, то говорят, что задано поле данной величины.

Поле называется скалярным, если рассматриваемая величина есть числовая функция.

Примерами скалярных полей являются: поле электрического потенциала, давление в атмосфере, поле температур и другие.

Если в пространстве введена декартова система координат, то можно задать .

Геометрической характеристикой скалярного поля служат поверхности уровня – геометрические места точек, в которых скалярная функция поля принимает одно и то же значение.

Поверхности уровня данного скалярного поля определяются уравнением.

.

Пример.2.8.1.1 Найти поверхности уровня скалярного поля

.

Решение. Область определения данного скалярного поля находится из неравенства

, т.е. .

Неравенство показывает, что поле определено вне кругового конуса и на нем самом, кроме его вершины .

Поверхности уровня определяются уравнением

, где , т.е.

или .

Это есть семейство круговых конусов, расположенных вне конуса, с общей осью симметрии с общей вершиной , в которой данное поле не определено, причем сам конус также входит в это семейство. Скалярное поле называется плоским, если существует декартова система координат, в которой поле задается числовой функцией от переменных.

Для

.

Геометрической характеристикой плоских скалярных полей служат линии уровня – геометрические места точек, в которых скалярная функция имеет одно и то же значение.

Линии уровня определяются уравнением

, где .

Пример.2.8.1.2 Написать уравнение линии уровня скалярного поля , проходящей через точку , если поле задано неявно уравнением

.

Решение. Линии уровня данного скалярного поля определяются уравнением

, или .

Учитывая тот факт, что , при найдем

.

Следовательно, уравнение линии уровня запишется в виде .