![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Волнения.
Рис. 7.14 показывает хорошее соответствие статистической и теоретической кривых. Из понятия плотности вероятности очевидно, что вероятность попадания ординаты С, в диапазон, ограниченный какими- либо значениями z\ и z2 определяется площадью под кривой между этими значениями С, (на рис. 7.15 она заштрихована). Эта вероятность может быть записана в виде JL z2 9 Г) ] е ZdC, (7.53)
zi где p{z\ < £ < Z2) обозначает вероятность события, указанного в скобках. Подстановка t = приводит выражение (7.53) к виду z2 l г Л 1 ^ Этот интеграл не выражается через элементарные функции, но он может быть представлен через функцию Лапласа (р (х), называемую также интегралом вероятности: (р{х) = ^=Х\е-'2 dt. (7.55) о Отметим следующие свойства этой функции:
(р (~х) = ~< р(х); < р (-оо) = -1; р(оо) = 1.
Используя функцию Лапласа, выражение (7.54) можно записать в виде
г \ / л" p(zl < £ < z2) = \
Устремляя здесь z\ -> -оо, получим вероятность появления не превышающей Z2: Г \
z2 1 + (р № Если же в формуле (7.56) устремить z2 —» +оо, то получим вероятность появления С,, превышающей z\:
p(£ > z l)=z
В теории случайных функций показывается, что если ординаты колебательного процесса распределены по нормальному закону, то его амплитуды следуют закону Рэлея
-< Г2
Ьа fR((a)'^-eW< (7. С Вид закона Рэлея представлен на рис. 7.16. Аналогично предыдущему закон Рэлея позволяет вычислять вероятность превышения или непревышения амплитудой заданного значения. Для практических целей особенно важным является определение вероятности появления ам- плитуд, превышающих заданную величину z. Эта вероятность называется обеспеченностью. Очевидно, что обеспеченность w(z) определится выражением < С2 Ь а 00 00 С 2D w(z) = р(с > z) = \fR {ga)d£ a = е ^ а. Интеграл в правой части А" Z Z ь вычисляется элементарно и мы получим:
t \ 2DC w(z) -е ^. Эта же зависимость позволяет решать обратную задачу, т. е. определять амплитуду заданной обеспеченности. Логарифмируя равенство (7.60), найдем: lnw(z) = —) откуда получим 2 Д г = =к< 5(; , (7.61) где обозначено к = 21n w(z). (7.62) Вычисленные по формуле (7.62) значения коэффициента к для различной обеспеченности, выраженной в процентах, приведены в табл. 7.3.
Высота волны (удвоенная амплитуда) определенной обеспеченности является удобной характеристикой интенсивности волнения. В частности, шкала степени волнения в баллах, принятая Главным гидрографическим управлением, составлена по градациям высот волн 3%-ной обеспеченности. Эта шкала приведена в табл. 7.4.
Данные по экспериментальным значениям высот волн, которые появляются один раз за 30 и более лет, для некоторых зон океанов приведены в табл. 7.5.
Зная высоты волны 3%-ной обеспеченности, можно, пользуясь формулами (7.61) и значением из табл. 7.3, вычислить дисперсию волновых ординат:
f и \2 /Ч \2 h3% = 0, 143 Степень интенсивности волнения часто приходится оценивать визуальным наблюдением с ходового мостика. Проведенные сопоставления между глазомерной оценкой волнения и инструментальной записью того же волнения показали, что средние значения высот волн, которые наблюдатель определяет как характеризующие степень волнения, имеют различную обеспеченность в зависимости от балльности волнения и высоты глаза наблюдателя. На основе статистической обработки результатов большого числа синхронно проведенных измерений и наблюдений волнения с отечественных и зарубежных судов получены осредненные соотношения между /гнабл и ^3% h3%=khhna6n> (7-64) значения которых приведены в табл. 7.6.
Это соотношение следует учитывать при установлении балльности волнения на основе визуальных наблюдений волн. В зарубежной литературе принято считать, что наблюдатели обычно фиксируют среднюю высоту одной трети наиболее высоких из наблюдаемых волн; их называют значительными волнами и обозначают /21/3. Связь между волнами 3%- ной обеспеченности и значительными волнами выражается соотношением h3o/o =1, 33/21/3. Рассмотренные выше характеристики нерегулярного волнения, определенные методами математической статистики, не дают возможности получить характеристики процесса качки судна. Для этой цели используется спектральное представление нерегулярного волнения. В соответствии с этим представлением нерегулярное волнение рассматривается как результат наложения неограниченного Представляя запись волнения в виде ряда Фурье и строя гистограмму с площадями столбиков, пропорциональными суммарной энергии АЕ волновых гармоник, частоты которых попадают в интервал Лео, получим приближенное распределение энергии волнения по частотам составляющих гармоник. Аппроксимация ступенчатой диаграммы каким-либо аналитическим выражением даст кривую, ординаты которой S((o) можно рассматривать как предел: S^- (со) = limАЕ/(Лсо)|Д(00 =dE! {diо). Функция (со) называется спектральной плотностью волнения, а графическое ее изображение - энергетическим спектром волнения. Согласно формуле (7.34) энергия, приходящаяся на единицу площади гар- монической волны, пропорциональна 1/2г, где г ее амплитуда. Не трудно видеть, что и дисперсия гармонического процесса равна этой же величине. Действительно, вычисляя дисперсию как среднее значение квадрата ординат процесса £ - г cos (со? + у) за период т = 2я/&, получим: \Г 1 л 9 .D^ = - jfzdt = rz-fcos (cot+ /)dt = -rz, To To 2 т. е. дисперсия ординат волнения пропорциональна энергии волнения, в связи с чем энергетический спектр волнения называют также спектром дисперсий. Из сказанного выше очевидно, что площадь, ограниченная спектром волнения, пропорциональна полной энергии волнения и равна дисперсии волнового процесса: % = jSf(a>)da>. (7.65) О Это соотношение выражает одну из связей между спектральным представлением процесса волнения и его вероятностными характеристиками, рассмотренными выше. Другую связь дает формула для среднего периода процесса тср =, (7.66) П' где величина .2 Dg = /в/^(е>)< /е> (7.67) О представляет собой дисперсию скорости изменения уровня волновой поверхно сти. Зависимость гср от высоты волны 3%-ной обеспеченности для развивающегося, развитого и затухающего волнений показана на рис. 7.17. 190 С понятием спектра связано представление о стационарности процесса. Под стационарным понимается такой процесс, спектральный состав которого не изменяется с течением времени. Если наблюдать за развитием волнения под действием ветра, то можно увидеть, как на первоначально спокойной поверхности моря образуется рябь, представляемая гармониками высоких частот. По мере развития волнения в составе спектра будут возрастать составляющие низких частот. Со временем состав спектра будет стабилизироваться, и при неизменной силе ветра установится некоторый постоянный спектр, соответствующий вполне развитому волнению. Такое волнение и будет представлять стационарный случайный процесс. При затухании волнения прежде всего начнут исчезать высокочастотные гармоники и спектр будет сужаться в сторону меньших частот. Практическое получение спектров волнения основывается на свойстве эргодичности, которое заключается в том, что одна реализация случайного процесса достаточной продолжительности может заменить множество реализаций той же суммарной продолжительности, в том и другом случае статистические характеристики процесса будут одинаковыми. Практика показывает, что для целей исследования качки судна необходимо иметь запись волнения, содержащую 120— 150 последовательных волн, что обычно соответствует 20-30 минутной непрерывной записи волнографа. При расчетах качки используют аналитические выражения для спектра волновых ординат, которые были предложены многими авторами. В отечественной практике пользуются спектром, заданным отраслевым стандартом 1981 г. Приведенное в стандарте выражение может быть представлено в виде
(7.68) принимается по CP' 4ср рис.7.17 для развитого волнения, а функция \\г(х) определяется выражением
у(х) = 3, 66л: 6 ехр
К х J Рассмотренное выше представление нерегулярного волнения относится к случаю зыби, когда вся энергия волнения сосредоточена в системе волн одного направления. Такое волнение является двухмерным, а его спектр - функцией только частоты и называется одномерным. Для ветрового волнения рассматривают модель трехмерного нерегулярного волнения, характеризуемого двухмерным спектром. В такой модели считается, что волнение состоит из волн, распространяющихся из разных направлений, определяемых углом е относительно генерального (господствующего) направления, и полная энергия волнения имеет угловое распределение, симметричное относительно генерального направления. В этом случае спектр волнения обычно представляют в виде произведения одномерного спектра Sg(со) и функции распределения энергии по углу s, причем в практике расчетов качки наиболее удовлетворительным считается распределение по закону cos4 е. В этом случае энергетический спектр трехмерного волнения задается выражением S£ (со, e) = YSZcos4 е' (7'70) где S^ (со) по-прежнему определяется формулами (7.68) и (7.69).
|