Качка на нерегулярном волнении

Представление нерегулярного волнения как суммы гармоник с различными частотами и амплитудами позволяет получить выражение, описывающее качку на этом волнении. Действительно, подставим в правую часть уравнения (7.38) сумму гармоник, представляющих волнение, и найдем для каждой из них решение вида
(7.48). Сумма этих решений и даст искомое выражение, которое определит всю картину движения судна на волнении.

Однако с практической точки зрения важнее установить такие параметры качки, как наибольшее вероятное наклонение судна в заданный период времени или суммарная продолжительность времени, в течение которого судно имеет на­клонения, превышающие заданный угол, и другие подобные оценки. На такого рода вопросы ответы даст рассмотрение качки судна на нерегулярном волнении как случайного процесса и описание его законами распределения и числовыми характеристиками этих законов.

Пользуясь принятой терминологией, будем называть волнение входным процессом, судно - динамической системой, а его качку - выходным процессом. Уравнение (7.38), определяющее качку судна, есть линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Динамическая система, колебания которой описываются таким уравнением, называется стационарной линейной сис­темой. Если на такую систему действует случайное возмущение, являющееся нормальным стационарным процессом, то выходной процесс будет также нор­мальным и стационарным. Таким образом, качка судна есть нормальный стацио­нарный процесс, и для ее изучения применимы те же методы, которые использо­вались при рассмотрении нерегулярного волнения. В частности, если наклонения судна при качке отсчитывать от среднего положения, то они будут распределены по закону Гаусса, а амплитуды качки - по закону Рэлея, и эти законы будут опре­деляться только через дисперсию углов качки Dq.

Рассмотрим на примере бортовой качки сначала прЪстейший случай, когда судно не имеет хода и расположено на двухмерном нерегулярном волнении.

Формулы (7.39) и (7.42) устанавливают линейную зависимость между ам­плитудой качки 6> Q и амплитудой гармоники волны причем коэффициент про­порциональности Ф(со) зависит от частоты волны со и согласно формулам (7.39) и (7.43) равен

_ф(шЬ ^ nlxsis^ _(77i)

(«²-co²)²+4i/²co²

e^y

так что

0_о=Ф(й>)г_о. (7.72)

Выражение Ф(со) в теории случайных процессов носит название переда­точной функции.

Передаточная функция Ф(со) может быть также определена эксперимен­тально, путем испытания качки модели судна в опытовом бассейне на волнах раз­ной частоты, создаваемых специальным устройством, называемым волнопродук- тором. Измеряя каждый раз амплитуду волны г_п заданной частоты и ампли­туду качки модели в_п на этой волне, значение передаточной функции получим из выражения Ф(со_й)-Q_n! r_n. Повторяя испытания при разных частотах со„ по най­денным точкам строят график передаточной функции.

Знание передаточной функции позволяет легко рассчитывать спектральную плотность качки. Действительно, ординаты спектральной плотности волнения пропорциональны квадратам амплитуд гармоник, составляющих нерегулярное волнение, следовательно, в соответствии с формулой (7.69) для спектральной плотности качки получим

S0(a>) = O²(a)S_c(a>), (7.73)

или, принимая во внимание выражение (7.71),

ⁿ[t°\ ^(7J4) в (п² - (О² [ + 4У²(0²

т. е. ординаты спектральной плотности качки получаются путем умножения ор­динат спектральной плотности волнения на квадрат передаточной функции.

Эта формула есть выражение общей теоремы Хинчина о преобразовании входного процесса стационарной линейной системой. Из формулы (7.72) находим дисперсию углов качки

00 00

Dq = \s_e(< f>)da = \Ф² (co)S^(co)Jco (7.75)

О О

и среднее квадратическое отклонение (или стандарт)

Аналогично определяются дисперсии и стандарты угловых скоростей

Dq = J(0%(G> yco; а^^Щ (7.77)

О

и угловых ускорений

Dq = Jcd%(G>)< /CO; GQ = Jty. (7.78)

О

В более сложном случае хода судна со скоростью и под курсовым углом q к волнению воздействие волн на судно будет происходить с кажущейся частотой

со_к = со ч- со fgvcosq, причем для трехмерного волнения q = qy+s, где qр - курсовой угол к генеральному направлению волнения. В этом случае в коэффици­енте динамичности, входящем в передаточную функцию, истинная частота долж­на быть заменена на кажущуюся, так что при наличии хода спектр качки предста­вится выражением

4 4 2

SeW = ^т----------------------------------- < %(<»)• (⁷-⁷⁹)

g [п²- co²[₊4V ² CO ²

Площадь спектра Sq (со) определит дисперсию углов качки Dq однако в этом случае сама зависимость Sq((h) не будет представлять распределение энер­гии качки по частотам, в связи с чем ее называют псевдоспектром качки.

В случае хода судна вместо волнового спектра, дающего распределение полной энергии волн по их частотам, рациональнее рассматривать спектр волно­вого воздействия на судно, представляющий распределение по кажущимся часто­там части энергии волн, передаваемой судну, т. е. энергии, рассчитанной по эф­фективным амплитудам волн, учитывающим через редукционный коэффициент X соотношение размеров судна и волн, а также их курсовой угол.

Для бортовой качки энергия волнового воздействия элементарной гармони­ки пропорциональна величине

4 2 2

dEg = ю / g Xq (^ю> < 7г ⁺ (^ю> £)dtods,

полный же спектр найдется интегрированием по частоте и углу s. Способы рас­чета таких спектров для двухмерного и трехмерного волнения разработаны С. П. Сюрко. На рис. 7.19 и 7.20 представлены рассчитанные им спектры

волнового воздействия для контейнеровоза типа «Герои панфиловцы».

Передаточной функцией для спектра волнового воздействия служит коэф­фициент динамичности К_д, выраженный через кажущуюся частоту, и спектр

качки рассчитывается по формуле

Рисунок 7.19. - Спектр волнового воздействия двухмерного волнения 7 баллов, Ьз%= 8, 5м

со_к^(со_к)

Но.

Найденные дис­персии или стандарты полностью определяют вероятностные харак­теристики качки судна на заданном нерегулярном волнении.

Рассмотрим некото­рые из таких характери­стик следующих из закона Гаусса /р (в) распределе-

Рисунок 7.20. - Спектр волнового воздействия трехмерного волнения 7 баллов, h₃%= 8, 5м

а) Наивероятнейшая ам­плитуда качки, соответствую­щая максимуму /r {6_a),

0_m=< j _в. (7.81)

ее обеспеченность составляет 60, 6%.

б) Средняя амплитуда качки (математическое ожида­ние амплитуды)

& = М°0*> 125о0, (7.82)

г \

0,

p(9_a> 0₃) = w(0₃) = e д) Средняя частота и средний период качки

(5q 2 ж Gq

(O q = --------, lq = ----------- = 2 Ж--------

ш, 9

е) Число наклонений судна (полупериодов) за время t плавания на волне­нии заданной интенсивности в неизменных условиях

2t_

Ъ

ж) Число наклонений судна за то же время, превышающих 9₃,

v²

2 1

Nfy - N_tp{6_a > #3) = -==~ e

^l9

з) Общая продолжительность пребывания судна с наклонением 9 > 9₃

t₉ ~tp{e> 0₃) = t\

и) Средняя продолжительность пребывания судна при в> в3

(7.89)

где обозначено

F{x) = e^x2[\-(p{x)]. График этой функции представлен на рис. 7.21.

к) Обеспеченность наибольшей из вероятностных амплитуд за время t

1 Т_в

w_t = — = —, ^r N_t It

откуда

вГ^Х=к< о₆=_л\- 2 In

Мы рассмотрели бортовую качку судна и получили ее вероятност­ные характеристики. Со­вершенно аналогично оп­ределяются характе­ристики двух других ос­новных видов качки - вер­тикальной и килевой, од­нако при этом входящие в

передаточную функцию величины yiq и vq должны быть заменены одно­именными величинами для соответствующего вида качки, т. е. %^, п^ и v^ - для вертикальной и и v^ - для килевой.

Заметим также, что, поскольку спектр волнового воздействия зависит от ре­дукционного коэффициента j, для каждого вида качки этот спектр должен вы­числяться отдельно.

Вопросы мореходности судов