Расчет электрических цепей

Применение матричной алгебры и методов решения систем линейных уравнений для решения задач электротехники обусловлено тем, что законы Кирхгофа для разветвленных электрических цепей, по которым течет постоянный ток, могут быть записаны в виде системы линейных уравнений.

Законы Кирхгофа

1. Алгебраическая сумма всех токов, приходящих в точку разветвления цепи (узел, вершину) и выходящих из неё, равна 0.

. (1)

Токи, входящие в узел, считаются положительными, а выходящие из узла, – отрицательными.

Иначе этот закон можно сформулировать следующим образом: В каждой вершине контура сумма входящих токов равна сумме токов, выходящих из неё.

2. Алгебраическая сумма падений напряжений на сопротивлениях (включая и сопротивление источников) равна алгебраической сумме э.д.с., имеющихся в этом контуре, т.е.

. (2)

Если э.д.с. в контуре отсутствует, то падение напряжений равно 0:

. (3)

Заметим, что направление тока на каждом участке цепи между двумя узлами можно выбрать произвольно, сохраняя однако, это направление на всех этапах решения задачи. Если в результате решения для каких-то токов получатся отрицательные численные значения, то это значит, что первоначальное направление токов было выбрано неправильно.

Направление обхода каждого контура произвольно.

Падение напряжения считается положительным, если выбранное заранее направление тока на этом участке между узлами совпадает с направлением обхода контура, и отрицательным – в противном случае.

Э.д.с. считается положительной, если при обходе контура источник тока проходит от отрицательного полюса к положительному, и отрицательный – в противном случае.

Для примера рассмотрим следующую цепь (рис. 2).

Рис. 2

Для такой цепи 1 закон Кирхгофа даёт систему:

(*)

По второму закону Кирхгофа для контура абвг:

Для контура абв будем иметь:

(**)

Для контура агв будем иметь:

Заметим, что если цепь содержит т узлов, то уравнения (*) составляются для т –1 узлов. При составлении уравнений (**) нужно следить, чтобы каждый вновь взятый контур не мог быть получен сложением или вычитанием уже полученных. Так, наше первое уравнение может быть получено, если из второго уравнения (**) вычесть третье из той же серии. Поэтому полная система уравнений для определения токов при заданных сопротивлениях и э.д.с. будет состоять из первых трех уравнений (*) и последних двух уравнений (**).

Заметим, что если рассматривать разветвленные электрические цепи, составленные из проводников единичного сопротивления, подключенных к источнику в двух точках (полюсах), то для них второй закон Кирхгофа звучит следующим образом: в любом замкнутом контуре сумма токов, идущих по часовой стрелке, равна сумме токов, идущих против часовой стрелки.

Рассмотрим несколько задач с такими цепями.

Задача 1. На рисунке изображена электрическая цепь с полюсами А и С и углами В и D Найдите токи во всех проводниках цепи, если известно, что ток в проводнике DВ равен 1 (рис. 3). Стрелками обозначены направления токов.

Решение. Обозначим ток, идущий по звену через , идущий по звену – через , идущий по звену через , по звену – через , а по звену – через .

Тогда по первому закону Кирхгофа можно записать

По второму закону Кирхгофа получим следующие уравнения

Для расчета токов в каждом звене цепи имеем систему линейных уравнений

Решая систему, получим:

Задача 2. На рис. 4 изображены электрические цепи с полюсами и . Найдите токи в их проводниках, если известно, что в каждой цепи ток в проводнике равен 1. Некоторые токи у вас получатся нулевыми и отрицательными. Что это значит

а)

б)

в)

г)

Рис. 4

Решение задачи 2б) Обозначим токи в проводниках соответственно в , в , в , в , в , в , в , в , в , в , в . Тогда по первому и второму закону Кирхгофа получим систему для определения этих токов

Решая систему, получим .