Описание системы сил, действующих на упругую статическую систему S закрепленную на краях

Указанной статической системой является, например, струна, стержень, мембрана, пластина. Для нахождения сил, действующих на неё, тоже может быть использована теория систем линейных уравнений.

Рис.13

Пусть в системе выбраны n точек: В каждой из них известна величина прогибов: Понятно, что в этих точках на систему действуют соответственно силы: Предполагается, что силы и направления перемещения точек направлены в одну и ту же сторону. Известны также числа – коэффициенты влияния точек на точку Число показывает прогиб в точке под воздействием единичной силы, приложенной в точке Тогда при совместном воздействии сил на точку величина прогиба будет вычисляться по величине сил по формуле Возникает система линейных уравнений с переменными

.

Заметим, что при расчете прогибов были использованы следующие принципы:

1. При суммарном действии двух сил соответствующие прогибы складываются.

2. При умножении величин всех сил на одно и то же число все прогибы умножаются на это число.

1.5.5. Применение метода наименьших квадратов
для обработки результатов измерений

Так называется очень распространенный метод обработки наблюдений, применяемый при решении следующей практической задачи. Пусть в процессе эксперимента получены n- пар соответствующих значений двух функционально связанных величин . Требуется из m -параметрического семейства функций заданного вида зависящих от одной переменной , найти такую функцию, то есть определить значения параметров которая бы наилучшим образом аппроксимировала опытные данные. Считается (исходя из принципов теории вероятностей), что наилучшей будет та функция (те значения ), для которой сумма квадратов отклонений значений , вычисленных по формуле от заданных в точках принимает минимальное значение. Иначе говоря, мы ищем те значения которые обращают в минимум сумму

Это условие дает систему уравнений, из которых определяются параметры

(1)

На практике заданную формулу иногда приходится преобразовывать (в ущерб строгости решения) к такому виду, чтобы указанную выше систему было проще решать.

Чаще всего в качестве аппроксимирующей функции выбирают многочлены первой и второй степени. Пусть такой функцией является прямая Тогда система из двух уравнений для определения параметров и имеет вид:

(2)

.

Эта система всегда имеет единственное решение, так как ее основной определитель отличен от нуля. Для определения коэффициентов системы удобно составить вспомогательную таблицу для вычисления коэффициентов

Если в качестве аппроксимирующей функции выбрать квадратичную функцию то система уравнений (1) для определения коэффициентов будет иметь вид:

(3)

Если подбирается функция или функция , то для упрощения системы (1) формулы, задающие функции, предварительно логарифмируются и заменяются формулами и Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1. Предполагается, что стационарное распределение температуры в теплоизолированном тонком стержне описывается линейной функцией . Определить константы , имея таблицу измеренных температур в соответствующих точках стержня:

Составим таблицу для определения коэффициентов системы (2):

k
		0
			29, 2	58, 4
			23, 3	139, 8
			19, 9	159, 2
			17, 2
			11, 3	158, 2
			7, 8	124, 8
			2, 0
			142, 7	852, 4

Система (2) имеет вид:

Решая систему по правилу Крамера, получим следующие значения параметров Таким образом, искомая линейная функция имеет вид

Следующий пример можно найти в учебнике Я.Б. Зельдовича «Высшая математика для начинающих и ее приложения в физике» (М.: Физматгиз, 1963. С. 13–14).

Задача 2. Из опыта известно, что для данного проводника (из данного материала, данного сечения и данной длины) электрическое сопротивление зависит от температуры проводника так, что эта зависимость является функциональной: . Вид функции неизвестен. Однако экспериментально были найдены значения при различных значениях температуры Результаты опыта отражены в таблице (см. табл. 1).

Таблица 1

Авторы отмечают, что, поскольку явный вид функции неизвестен, то можно попытаться подобрать приближенную формулу, хорошо согласующуюся с опытными измерениями. В качестве такой приближенной функции они предлагают функцию

. (4)

По этой формуле можно составить таблицу значений r для тех значений температуры, для которых проводились экспериментальные замеры сопротивления R (табл. 2).

Таблица 2

Сравнение таблиц 1 и 2 показывает, что значения при тех температурах, при которых проделаны измерения, очень близки к наблюдаемым в опыте. Более того, в трех точках они просто совпадают. Учитывая это и тот факт, что функция (1) является квадратичной относительно Т, то есть функцией

, (5)

можно догадаться, как получена формула (4) по экспериментальным данным.

Для нахождения коэффициентов a, b, c в формуле (5) достаточно подставить в ее левую часть значения , а в правую часть – соответствующие этим температурам значения R из первой таблицы. В результате получим систему

(6)

Решая систему (6), найдём что и приводит к зависимости (4).

Заметим, что значения R (25) и R (75) совсем не учтены при определении параметров a, b, c, задающих функцию r (T).

Другой метод – метод наименьших квадратов позволяет учесть это упущение. Суть его состоит в том, чтобы найти такие параметры a, b, и c в формуле (5), при которых сумма квадратов отклонений значений функции R = r (T) из формулы (5) от значений из таблицы 1 во всех пяти узлах сетки принимает наименьшее значение. Найдем указанную сумму

(7)

Учитывая, что получим

Полученная функция как функция трёх переменных a, b и c принимает наименьшие значения, если

(8)

Что равносильно

(9)

Применим метод Крамера для решения системы (9). Согласно этому методу, где – определитель основной матрицы системы (9), а – определитель матрицы, полученной из основной заменой -ого столбца на столбец свободных членов. Проведем вычисление определителей:

Из этих вычислений следует:

(10)

Поэтому

(11)

И так, аппроксимация функции заданной таблицей 1, многочленом второй степени вида (5), нами получена двумя различными путями: а) по трем точкам, выбранным из графических соображений, б) по методу наименьших квадратов. В случае а) зависимость описывается формулой (4), в случае б) формулой (11).

Сравнительная таблица значений сопротивления при заданных значениях температуры T имеет вид:

Таблица 3

		118, 4	124, 6	130, 3	135, 2
		118, 55	124, 6	130, 15	135, 2
	111, 94	118, 52	124, 6	130, 18	135, 26

Анализируя полученные результаты, замечаем, что функция совпадает с в трех точках: и а для функции соответствующее равенство имеет место лишь в одной точке:

С другой стороны, суммы квадратов отклонений от всех табличных значений равны соответственно:

Таким образом,

Последнее неравенство показывает, что при аппроксимации функции, заданной таблично, некоторой другой, зависящей от некоторого числа параметров, выгодно применять метод наименьших квадратов.

Важно отметить также, что чем выше степень аппроксимирующего многочлена, тем более точно он приближает экспериментальные данные. Так, например, если в качестве аппроксимирующего многочлена взять многочлен 4-й степени , то получим, что и Найти этот многочлен можно методом неопределенных коэффициентов. Используя последние соотношения? поиски r (T) сведутся к решению линейной системы, состоящей из 5-ти уравнений с 5-ю неизвестными a, b, c, d, e. В этой ситуации, естественно

Задача 3. Используя метод наименьших квадратов аппроксимировать функцию заданную таблицей 1, с помощью экспоненты

(12)

Прологарифмируем соотношение (12) по основанию Теперь сделаем замену:

(13)

тогда получим (14)

В таблицу 1 добавим ещё одну строчку:

Таблица 4

Теперь потребуем, чтобы функция приняла наименьшее значение. Требование приводит к системе

(15)

которая отличается от системы (9) лишь правыми частями равенств. Применяя вновь метод Крамера для решения (15), найдем

что приводит, согласно (12), к формуле

(16)

Из (16) следуют (используя таблицу антилогарифмов) равенства

Взяв значения из таблицы 1 (или из таблицы 3) и только что найденные числа вычислим Вычисления дают

Сравнивая этот результат с предыдущими, мы видим, что имеет место двойное неравенство: Таким образом? представление в виде формулы (16), в смысле метода наименьших квадратов, существенно лучше, чем два предыдущих: в виде (4) или (11).

Задача 4. В электрической цепи в течение 10 секунд измеряется напряжение с интервалом в 1 секунду. Результаты приведены в таблице 5.

Таблица 5

Известно, что зависимость между параметрами U и t линейная, т.е.

Найти такие параметры и при значении которых линейная функция достаточно точно отражает результаты эксперимента, приведенные в табл. 5.

Задача 5. В табл. 7 приведены результаты измерения силы звука самолета (она обозначена и измеряется в децибелах (д б)) на различных расстояниях от точки взлета (расстояние обозначается через 1 и измеряется в км).

Таблица 7

		2, 5		5, 5		8, 5

Используя метод наименьших квадратов, подберите линейную функцию, которая описывает зависимость U от S. Найдите:

а) на каком расстоянии от точки взлета звук становится смертельно опасным для человека (свыше 120 децибел);

б) на каком расстоянии от аэродрома можно строить жилые помещения (менее 75 децибел), детские учреждения и больницы (60 децибел).

В качестве упражнений можно предложить задачи № 383-402 из пособия [7].

Учебная литература

1. Беклемишева? Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре / Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров. – М.: Наука; Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – С. 160–178.

2. Головина, Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения / Л.И Головина. – М.: Наука, 1975. – 408 с. (ч. 1, § 9, § 11).

3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 3 / П.Е. Данко, А.Г. Попов – М.: Высш. Шк., 1971. – С. 213–224.

4. Зельдович, Я.Б. Высшая математика для начинающих и ее приложения в физике / Я.Б. Зельдович – М.: Физматгиз, 1963. – С. 13–14.

5. Ильин, В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. – М.: Наука, 1984. – Гл. 3, § 1.

6. Кремер, Н.Ш. Практикум по высшей математике для экономистов / Н.Ш. Кремер, И.М. Тришин, Б.А. Путко и др.; под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. С. 33–57, 363–367.

7. Проскуряков, И.В. Сборник задач по алгебре / И.В. Проскуряков. – М.: Наука, 1970. С. 82–87, 99–111.

8. Стренг, Г. Линейная алгебра и её применение / Г. Стренг. – М.: 1980. С. 11–180.

9. Hefferon, J. Linear Algebra / J. Hefferon. – Colchester; Vermont: Saint Michael’s College. – April 20.2000.

2. Векторная алгебра и её приложения

Понятие вектора является одним из фундаментальных понятий современной математики. Оно возникло как математическая абстракция объектов, характеризующихся не только величиной, но и направлением, таких, например, как перемещение, скорость, напряженность электрического или магнитного поля. Поэтому данное понятие тесно связано с потребностями механики и физики, и эволюция его осуществлялась благодаря широкому использованию и в математике, и в механике, и в технике. Термин «вектор» ввел У.Р. Гамильтон (ок. 1845); обозначения – Ж. Арган (1806), – А.Ф. Мебиус, а – О. Хевисайд (1891). Теории векторов на плоскости и в пространстве посвящено сочинение датского математика (по профессии землемера) К. Веселя (1745 – 1818) «Об аналитическом представлении направлений» (1799), в котором впервые дано геометрическое представление комплексных чисел. Здесь также как и в более поздних работах швейцарского математика Ж. Аргана (1768 – 1822) и немецкого математика К.‑ Ф. Гаусса установлена связь между арифметическими операциями над векторами и арифметическими операциями над комплексными числами. В течение столетия это сочинение оставалось неизвестным, а его результаты открывались вновь. До 19 века для задания векторов использовался лишь координатный способ, и операции над векторами сводились к операциям над числами, их координатами. В середине 19 столетия в работах ирландского математика и астронома У.Р. Гамильтона (1805 – 1865) и немецкого геометра А.Ф. Мебиуса (1790 – 1868) понятие вектора нашло применение при изучении трехмерного и многомерного пространств. В это же время операции над векторами стали проводиться непосредственно, без обращения к их координатам, и общее понятие вектора как элемента векторного пространства дано аксиоматически.

Конец 19 и начало 20 столетий ознаменовались созданием и широким развитием векторного исчисления как раздела математики, в котором изучаются свойства операций над векторами. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В векторной алгебре изучаются линейные операции и различные произведения векторов. В векторном анализе изучают векторы, являющиеся функциями от одного или нескольких скалярных аргументов.

Следует сказать, что в указанный период были созданы также теория многомерного векторного пространства, теория поля, тензорный анализ. Все эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности.

2.1. Понятие вектора.
Линейные операции над векторами

Схема 1

Схема 2

С линейными операциями над векторами связаны понятия коллинеарные векторы, компланарные векторы, линейно зависимые и линейно независимые векторы.

Схема 3

Схема 4

Пара коллинеарных векторов и тройка компланарных векторов служат примерами пары и тройки линейно зависимых векторов. Пара неколлинеарных векторов на плоскости и тройка некомпланарных векторов в пространстве служат примерами линейно независимых систем векторов и составляют соответственно базисы систем векторов плоскости и пространства.

2.2. Линейная зависимость векторов.
Базис системы векторов

Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов.

1. Если система векторов содержит , то ее векторы линейно зависимы.

2. Если часть системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

3. Всякая часть линейно независимой системы векторов линейно независима.

4. Если векторы – линейно независимы, а векторы - уже линейно зависимы, то вектор является линейной комбинацией векторов .

5. Если все векторы являются линейными комбинациями системы векторов и то векторы – линейно зависимы.

Итак, данное определение означает следующее:

Понятие базиса позволяет определить вектор в заданном пространстве упорядоченным набором чисел – его координатами.