Физические приложения векторной алгебры

Векторное исчисление очень быстро получило широкое распространение в математических и физических исследованиях. Этим оно обязано, главным образом, следующим обстоятельствам. Во-первых, векторное исчисление часто значительно сокращает вычисления, во-вторых, позволяет выразить связь между различными физическими величинами непосредственно, не прибегая к вспомогательной надстройке в виде системы координат. Так, например, более наглядными в векторном изложении становятся многие вопросы статики и почти вся кинематика твердого тела.

В данном пункте будут рассмотрены некоторые задачи на использование в физике линейных операций над векторами, формулы деления отрезка в данном отношении, специальных произведений векторов, понятия базиса векторного пространства, изоморфизма пространств и т.д. Среди этих задач много задач из курса теоретической механики.

Прежде чем приступить к решению задач, сделаем небольшое отступление, касающееся задачи разложения векторов по заданным направлениям. Разложение вектора на составляющие – один из основных приемов решения задач в курсах «Теоретическая механика», «Сопротивление материалов» и других.

Отметим, что если требуется разложить вектор, заданный координатами, по двум или трем векторам, также заданным своими координатами, то задача сводится к решению системы линейных уравнений.

Ниже будут решены базовые задачи, которые в дальнейшем неоднократно будут применяться при решении прикладных задач.

40. Разложить вектор по двум ортогональным векторам и

Решение. Разложить вектор по векторам и – это значит представить в виде (рис. 1).

Поскольку векторы и заданы, то используя их, требуется найти коэффициенты и Для этого скалярно умножим равенство на векторы и Соответственно получим: и Отсюда находим:

41. Даны два вектора и Представить в виде суммы двух векторов и так, чтобы был коллинеарен а вектор ортогонален

Решение. Пусть где а Так как то (рис. 2). Тогда Чтобы найти умножим скалярно это равенство на вектор и получим: Так как то и Тогда

В этом случае , а

Рис. 1	Рис. 2

42. Найти вектор, который равен ортогональной проекции вектора на прямую с направляющим вектором

43. Найти вектор, являющийся ортогональной проекцией вектора на плоскость, перпендикулярную к вектору

Указание. Для решения задачи нужно разложить вектор в сумму двух векторов и таких, что коллинеарен то есть а вектор ортогонален Для отыскания это равенство надо умножить скалярно на вектор

44. Найти коэффициенты разложения вектора по трем некомпланарным векторам , и

Решение. а) Если все векторы заданы своими координатами, то решение сводится к решению системы линейных уравнений, векторная запись которой имеет вид

(1)

б) Коэффициенты уравнения (1) можно выразить через известные векторы и не решая системы. Для этого уравнение (1) надо последовательно умножить скалярно на векторные произведения Так как смешанное произведение трех компланарных векторов равно то при умножении на вектор получим уравнение Отсюда Умножая (1) на и получим соответственно уравнения и Из них выражаем и Таким образом, разложение вектора по векторам и определяется следующим образом:

2.7.1. Равнодействующая сил.
Теорема сложения скоростей

Линейные операции над векторами и рассмотренный выше вопрос о разложении вектора на составляющие находят применение при решении задач, связанных со сложением скоростей. Вспомним, что если известно движение точки относительно системы координат и движение системы относительно основной (неподвижной) системы координат то можно определить движение точки по отношению к системе Движение точки по отношению к подвижной системе координат называется относительным, а по отношению к неподвижной системе – сложным или абсолютным движением. Движение системы по отношению к системе называется переносным движением. Соответственно скорости точки называются относительной, переносной и абсолютной. Зависимость между этими скоростями дается следующей теоремой.

Скорость сложного движения точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей: (рис. 3).

Примерами применения этой формулы служат известные в физике задачи о наклонении зонта под дождем или астрономических труб для устранения влияния «абберации».

Так, например, скорость дождевой капли, падающей на землю вертикально со скоростью будет относительно человека, идущего со скоростью (см. рис.4), выражаться вектором наклоненным к вертикали под углом

Рис. 3

Рис. 4

45. Самолет, собственная скорость которого км/час летит на север. Какова истинная скорость самолета, если во время полета дует ветер в восточном направлении со скоростью км/час?

Рис. 5

Решение. Рассмотрим две системы координат: неподвижную, связанную с землей, и подвижную систему координат движущуюся в направлении вектора со скоростью (км/ч). Тогда Здесь – скорость движения на север – результирующая скорость самолета и Аналогично Поэтому Тогда и

46. Лодка плывет поперек реки с постоянной (относительно воды) скоростью . Вода перемещается с постоянной скоростью вдоль берегов. В какой точке будет лодка через t часов?

47. Моторная лодка, скорость которой относительно берега составляет км/час, поднимается вверх по реке на расстояние d от своей стоянки и возвращается обратно. Затем она отправляется в пункт на противоположном берегу как раз напротив стоянки и возвращается обратно. Считая, что ширина реки равна d, скорость течения ее постоянна и равна u, найти, во сколько раз время вдоль реки будет меньше времени, затраченного на переправу на другой берег.

48. Человек, стоящий на берегу реки шириной км, хочет переправиться на другой берег в прямо противоположную точку. Он может сделать это двумя способами: 1) плыть все время под некоторым углом к течению так, что результирующая скорость будет все время перпендикулярна к берегу; 2) плыть прямо к противоположному берегу, а расстояние, на которое его снесет течением, пройти затем по берегу пешком. Какой из способов позволит добраться быстрее, если скорость пловца будет составлять 2, 5 км/ч, скорость течения реки – 2 км/ч, а по берегу человек идет со скоростью 4 км/ч?

49. Велосипедист едет со скоростью 10 км/ч в северном направлении, и ему кажется, что ветер, который дует со скоростью 6км в час откуда-то с северо-востока, направлен почти навстречу ему, под углом 15 градусов к линии его движения. Определите истинное направление ветра. Найдите кажущееся направление ветра с точки зрения велосипедиста, который едет в обратном направлении с той же скоростью.

50. В боронах обычно зубья стоят вертикально, но есть бороны, в которых можно регулировать угол вхождения зубьев в почву. Зачем это делается?

Решение. Это дает возможность одной и той же бороне работать на разной глубине. Рассмотрим действие возникающих сил. а) Угол вхождения бороны в почву является острым. Силу давления грунта R? действующую перпендикулярно зубу бороны, разложим на две составляющие, одна из которых направлена в сторону, противоположную движению, а другая – вертикально вниз. Под действием последней зуб бороны несколько углубляется (см. рис. 6а).

а) б)

Рис. 6

б) При тупом угле вхождения (рис. 6б) возникает сила действующая вверх, поэтому зуб бороны менее глубоко, по сравнению с обычным, входит в землю.

51. Чтобы вытащить увязшую в выбоине машину, прибегают к следующему приему. Привязывают ее длинной прочной веревкой крепко к дереву или пню близ дороги так, чтобы веревка была натянута возможно туже. К середине веревки привязывают кусок другой веревки. Затем тянут за этот кусок, и машина сдвигается с места (рис. 7.). На чем основан описанный прием?

Чтобы вытащить машину тем способом, который описан в задаче, оказывается достаточно силы одного человека. Сила тяги человека (рис. 7) разлагается на две силы и действующие вдоль половин веревки. Сила тянет дерево и, если оно достаточно прочное, уничтожается его сопротивлением. Сила же если она достаточно велика, сдвигает автомобиль с места. Сила гораздо больше силы F, приложенной к веревке. Выигрыш в силе зависит от угла между половинами веревки. Ясно, что с ростом этого угла – приближением веревки к положению прямой, веревка натягивается сильнее, и тем больший выигрыш мы имеем в силе

Рис. 7

52. Человек, едущий в дождливую погоду на автомобиле на юго-восток, замечает, глядя в боковое стекло, что дождь падает вертикально вниз. Он знает, что скорость автомобиля 30 км/ч. Оцените скорость ветра.

53. Снаряд выпускается со скоростью км/сек под углом к горизонту. Найти 1) сколько времени снаряд будет в полете; 2) на какую высоту поднимется снаряд; 3) на какое расстояние от места запуска пролетит. Сопротивление воздуха не учитывать (рис. 8).

Рис. 8

Решение. Разложим вектор на горизонтальную и вертикальную составляющие: Модули векторов и равны соответственно Тогда При движении тела на него действует сила тяжести, поэтому вектор скорости с течением времени меняется по закону: Отсюда

В точке наивысшего подъема вертикальная составляющая скорости равна 0. Поэтому и Отсюда (сек). Поэтому длительность полета снаряда будет составлять приблизительно 142 сек., то есть 2 мин. 22 сек.

Закон движения задается формулой

Подставляя время подъема снаряда в формулу для вертикальной составляющей вектора перемещения, получим максимальную высоту подъема снаряда В нашем случае (км).

Дальность полета найдем, если время полета снаряда подставим в горизонтальную составляющую вектора перемещения В результате получим Для данной задачи дальность полета км.

54. Мяч бросается со скоростью м/сек под углом к горизонту. Найти 1) на какую высоту поднимется мяч, 2) на каком расстоянии от места бросания мяч упадет на землю, 3) сколько времени он будет находиться в движении. Сопротивление воздуха не учитывать.

55. Камень брошен горизонтально со скоростью м/сек. Найти нормальное и тангенциальное ускорение камня через 1 секунду после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

56. Тело брошено со скоростью м/сек под углом к горизонту. Найти нормальное и тангенциальное ускорение тела через 1, 25 сек после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

57. С башни высотой м брошен камень под углом к горизонту со скоростью м/сек. Найти 1) сколько времени камень будет находиться в движении, 2) на каком расстоянии от основания башни он упадет на землю, 3) с какой скоростью он упадет на землю, 4) какой угол составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю. Сопротивление воздуха не учитывать.