Уравнение траектории движущейся точки

Кривая может быть задана как некоторое множество точек, то есть может быть дано геометрическое свойство, присущее всем точкам кривой, и только им одним, – свойство, отличающее точки кривой от остальных точек плоскости или пространства. В таком случае задача о нахождении уравнения кривой сводится к тому, чтобы выразить аналитически тот факт, что все точки кривой обладают определенным свойством. Однако нет надобности рассматривать все точки кривой: можно представить, что кривая описана подвижной точкой и тогда достаточно будет выразить, что точка неизменно обладает указанным свойством.

112. Определить траекторию точки М, которая при своем движении все время остается вдвое ближе к точке чем к точке

113. Требуется разложить силу на две силы, отношение которых равно 2: 3. Найти геометрическое место вершин силовых треугольников, удовлетворяющих этому условию.

114. Точка движется так, что расстояние ее до двух заданных пересекающихся прямых остаются все время в постоянном отношении. Написать уравнение ее траектории.

115. Составить уравнение геометрического места центров масс треугольников, имеющих две общие две общие вершины и если третьи их вершины лежат на биссектрисе координатного угла.

116. Найти геометрическое место концов векторов, изображающих силы, приложенные к точке А и имеющие относительно центра О момент данной величины М. Расстояние от центра О до точки приложения сил

117. Два стержня вращаются вокруг двух неподвижных точек, расстояние между которыми равно 2 а. При этом вращении стержни все время остаются перпендикулярными друг другу. Найти геометрическое место точек пересечения стержней.

118. Вокруг точек и вращаются два стержня, причем так, что произведение отрезков, отсекаемых ими на оси ординат, считая от начала, равно постоянному числу. Написать уравнение геометрического места точек пересечения вращающихся стержней.

119. Найти траекторию точки, которая при своем движении остается все время в полтора раза дальше от точки чем от прямой

120. Шарик скатывается по желобку и, приобретя скорость V, срывается с него в той точке, где касательная имеет горизонтальное направление. Определить дальнейшую траекторию шарика.

Указание. По закону инерции, шарик должен продолжать движение по направлению касательной с постоянной скоростью и на него действует сила тяжести, которая заставляет опускаться вниз с постоянным ускорением g = 9, 8 м /сек.

121. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить траекторию тела, брошенного со скоростью вверх под углом к горизонтальному направлению.

122. Две точки, двигаясь равномерно и с одинаковой скоростью, описывают две взаимно перпендикулярные прямые. Зная начальное положение подвижных точек, составить уравнение геометрического места середин отрезков, их соединяющих, в различные моменты времени.

123. Если две одинаковые и достаточно близкие друг к другу параллельные пластинки погружены в жидкость, то вследствие капиллярности жидкость поднимается между ними выше уровня в сосуде. Эта высота поднятия h обратно пропорциональна расстоянию d между пластинками: с – постоянный множитель, зависящий от поверхностного натяжения и плотности жидкости. Если в ту же жидкость погрузить пластинки, образующие весьма малый двугранный угол с вертикальным ребром, то жидкость поднимется между ними, согласно данной формуле, на разные высоты. Какую кривую образует край жидкости с внутренней стороны каждой пластинки?

124. Стержень перемещается в пространстве так, что три его постоянные точки А, В и С скользят по трем координатным плоскостям. Чем ограничено движение четвертой точки М, произвольно выбранной на стержне?

125. Составить уравнение поверхности, описанной стержнем, скользящим по трем ребрам куба, из которых никакие два не лежат на одной плоскости. Ребро куба равно а.

Уравнения прямой линии

126. Даны уравнения движения точки Определить ее скорость.

127. Даны уравнения движения точки Определить расстояние, которое пройдет эта точка за промежуток времени от до

128. Составить уравнения движения точки которая, имея начальное положение движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора со скоростью

129. Составить уравнения движения точки которая, двигаясь прямолинейно и равномерно, прошла расстояние от точки до точки за промежуток времени от до

130. Точка движется прямолинейно и равномерно из начального положения в направлении, противоположном вектору со скоростью Составить уравнения движения точки и определить точку, с которой она совпадет в момент времени

131. Точки и движутся прямолинейно и равномерно: первая из начального положения в направлении вектора со скоростью вторая из начального положения в направлении вектора со скоростью Составить уравнения движения каждой из точек и, убедившись, что их траектории пересекаются, найти: 1) точку пересечения Р их траекторий; 2) время, затраченное на движение точки М от А до точки пересечения траекторий; 3) время, затраченное на движение точки N от В до точки пересечения траекторий; 4) расстояния, пройденные каждой точкой до встречи.

132. Точка движется прямолинейно и равномерно из начального положения в направлении вектора со скоростью Убедившись, что траектория точки М пересекает плоскость Найти: 1) точку Р их пересечения; 2) время, затраченное на движение точки М от А до точки Р; 3) длину отрезка АР.

133. Точка движется прямолинейно и равномерно из начального положения со скоростью по перпендикуляру. Опущенному из точки А на плоскость Составить уравнения движения точки и определить: 1) точку Р пересечения ее траектории с этой плоскостью; 2) время, затраченное на движение точки М от А до точки Р; 3) длину отрезка АР.

134. Точка движется прямолинейно и равномерно из начального положения в направлении вектора со скоростью Определить, за какое время она пройдет отрезок своей траектории, заключенный между параллельными плоскостями:

Учебная литература

1. Атанасян, Л.С. Сборник задач по геометрии. Ч. 1 / Л.С. Атанасян, В.А. Атанасян. – М.: Просвещение, 1973. – С. 4–5, 10–11, 18–19, 28, 43–48, 125–126.

2. Беклемишева, Л.А.. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре / Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров. – М.: Наука; Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – с. 160–178.

3. Блехман И.И. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложений математики. / И.И. Блехман, А.Д. Мышкис, Я.Г. Пановко. – 2-е изд. – М.: Наука, 1990, – 356 с.

4. Бухгольц, Н.Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1 / Н.Н. Бухгольц. – М.: Наука, 1967.

5. Веселовский, И.Н. Основания векторной алгебры и ее приложений в геометрии и статике. Гос. технико-теоретическое издательство / И.Н. Веселовский. – М.; Л.: Гос. технико-теоретиче­ское изд-во, 1932. – 132 с.

6. Голубева, О.В. Теоретическая механика / О.В. Голубева. – М. Высшая школа, 1976, – 352 с.

7. Зельдович, Я.Б. Высшая математика для начинающих: Задачи, принципы, методология. / Я.Б. Зельдович. – 5-е изд. – М.: Наука, 1970. – 560 с.

8. Зельдович, Я.Б. Элементы прикладной математики / Я.Б. Зельдович, А.Д. Мышкис. – 3-е изд. – М.: Наука, 1972. – 592 с.

9. Зельдович, Я.Б. Элементы математической физики. Среда из невзаимодействующих частиц / Я.Б. Зельдович, А.Д. Мышкис – М.: Наука, 1973, – 351 с.

10. Ильин, В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. – М. Наука, 1984, гл. 3, § 1.

11. Коган, В.Ф. О разложении сил и о реакциях связей / В.Ф. Коган. – ВОФЭМ, 1912. – № 576.

12. Канатиков, А.Н. Аналитическая геометрия / А.Н. Канатиков, А.П. Крищенко – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 312 с.

13. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д.В, Клетеник. – М.: Наука, 1986. – С. 123–124, 126–128, 130, 132.

14. Купер Л. Физика для всех: Т. 1. Классическая физика / Л. Купер. – М.: Мир, 1972. – 480 с.

15. Майоров, В.М. Задачник практикум по векторной алгебре (с приложениями к геометрии, элементарной геометрии и статике) / В.М. Майоров, З.А. Скопец. – М.: Учпедизд, 1961. – С. 29–32, 43–50, 127–129.

16. Меркин, Д.Р. Алгебра свободных и скользящих векторов / Д.Р. Меркин. – М.: Физматгиз, 1962. – 164 с.

17. Мышкис, А.Д. Лекции по высшей математике / А.Д. Мышкис. – 4-е изд. – М.: Наука, 1973. – 640 с.

18. Мышкис, А.Д. Элементы теории математических моделей / А.Д. Мышкис. – М.: Физматлит, 1994. – 194 с.

19. Федорчук, В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Учеб. пособие / В.В. Федорчук. – М.: Изд-во МГУ, 1990. – С. 14–46, 71–80.

20. Фейнмановские лекции по физике. Задачи и упражнения. М.: Мир, 1957. – С. 31–44.

21. Цубербиллер, О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии / О.Н. Цубербиллер. – М.: Наука, 1966. – С. 27–29, 42–50, 71, 72, 79, 80, 207, 211, 224.