Построение многомерных сигналов

Далее, в данном пункте будет показано, как на основе заданного ансамбля сигналов S размерности n построить новый ансамбль, но уже большей размерности. Одним из приемов такого построения является операция сжатия временного промежутка. Рассмотрим, как это делается, на нескольких примерах.

Задача 5. Пусть дан ансамбль сигналов где .

Требуется построить на основе этого одномерного ансамбля ансамбль а) двумерный, б) трехмерный.

Решение: а) Разделим отрезок пополам Получим промежутки . На каждом из них зададим функции

Теперь рассмотрим ансамбль сигналов где

Нетрудно проверить, что ортонормированный базис сигнального пространства этого ансамбля состоит из двух функций:

Для этого самостоятельного убедитесь, что скалярное произведение а

Поскольку базис состоит из двух векторов, то размерность построенного ансамбля сигналов n = 2 размер его М = 4. Найдем и изобразим на координатной плоскости сигнальное созвездие этого ансамбля.

При отображении базисные векторы и перейдут соответственно в векторы и По линейности отображения легко находятся образы сигналов

На координатной плоскости полученное сигнальное созвездие изображается следующим образом (см. рис. 5)

Рис. 5

б) Разделим отрезок на три равные части . На каждом из полученных промежутков определим функции:

Теперь рассмотрим ансамбль из шести сигналов:

Легко получить, что Это значит, что функции линейно независимы.

Найдем скалярный квадрат вектора

Найдём аргумент

Тогда и

Аналогично убеждаемся, что Тогда ортонормированный базис сигнального пространства состоит из функций .

Пусть при отображении Тогда соответствующие сигналам , векторы имеют соответственно координаты:

В координатном пространстве сигнальное созвездие изображается тремя парами точек, расположенными на осях координат симметрично относительно начала координат на расстоянии от него (см. рис. 6).

Рис. 6

Задача 6. Построить двумерный ансамбль путём временного сжатия на базе ансамбля задачи 1.5: .

Решение. Промежуток разделим пополам и на каждом из полученных промежутков рассмотрим функции , и определенным в предыдущей задаче:

.

Рассмотрим теперь ансамбль из четырех сигналов:

где

Нетрудно проверить, как и в первой задаче, что то есть функции и – линейно независимы. Кроме того, Поэтому ортонормированный базис сигнального пространства для данного ансамбля состоит из функций Размерность ансамбля , а его размер При отображении при котором сигналом соответствуют векторы

Изображение полученного сигнального созвездия дано на рис. 5.

Задача 7. На основе ансамбля сигналов задачи 1.1 построить ансамбль размерности 4 путем временного интервала

Задача 8. На основе ансамбля сигналов задачи 6 построить четырехмерный ансамбль сигналов. Соответствующее сигнальное созвездие найти для

Задача 9. На основе ансамбля сигналов задачи 7 построить четырехмерный ансамбль сигналов, найти его сигнальное созвездие. Доказать, что построенный ансамбль сигналов совпадает с ансамблем сигналов задачи 8.