Центр масс системы материальных точек

Пусть дана система материальных точек в которых сосредоточены массы соответственно, то есть имеется набор пар где – точка, а – положительное число. Центром масс системы точек с массами в них называется точка для которой выполняется условие

Основные свойства центра масс

1. Для любой системы точек центр масс существует, причем только один.

Доказательство опирается на следующий геометрический факт. Пусть и – любые две точки пространства. Тогда

Отсюда следует, что точка является центром масс системы точек тогда и только тогда, когда и, следовательно,

.

Отсюда следует существование центра масс. Единственность такой точки доказывается методом от противного.

2. Центр масс системы точек останется прежним, если часть точек заменить одной точкой, которая расположена в их центре масс и которой приписана масса, равная сумме их масс. Иначе это свойство можно сформулировать следующим образом. Центр масс системы точек с массами совпадает с центром масс двух точек – центра масс первой системы с массой и центра масс второй системы с массой

Свойство 2 является важнейшим свойством центра масс, на котором основаны почти все его применения.

3. Центр масс однородного стержня находится в его середине.

76. Докажите свойство 2 центра масс системы точек.

77. Докажите, что центр масс точек и с массами и лежит на отрезке и делит его в отношении

78. В трех точках помещены грузы соответственно с массами в 60, 100 и 40 г. Определите центр масс этой системы.

79. Центроидом системы точек называется центр масс системы материальных точек в которых сосредоточены равные друг другу массы Выведите формулу для вычисления радиус-вектора центроида данной системы точек через радиус-векторы этих точек и, пользуясь этой формулой, покажите, что:

а) центроид системы точек не зависит от величины массы

в) центроид системы двух различных точек есть середина отрезка

с) если – центроид системы точек а – центроид системы точек то центроид всех точек лежит на отрезке и делит этот отрезок в отношении

80. Центр масс прямого однородного стержня находится в точке Один его конец совпадает с точкой Определите положение другого конца.

81. Стержень длиной в 60 см подвешен на двух веревках. Одна из этих веревок не может выдержать натяжения превышающего 20 кг. На каком расстоянии от соответствующего конца стержня можно прикрепить к нему груз в 96 кг.

82. Горизонтальная балка длиной в 3 м и массой в 80 кг свободно лежит своими концами на двух неподвижных опорах А и В. На каком расстоянии от конца А нужно поместить груз в 200 кг, чтобы давление на опору В было равно 110 кг.

83. Как выражаются координаты центра масс треугольника через координаты его вершин?

84. Центр масс треугольника совпадает с началом координат: одна из вершин его лежит на оси абсцисс на расстоянии а от начала координат; вторая вершина лежит на оси ординат на расстоянии в от начала координат. Найдите координаты третьей вершины.

85. Однородная проволока согнута в виде прямого угла со сторонами а и b. Найти центр масс этой проволоки.

86. Найдите центр масс проволочного треугольника, зная, что вершины его находятся в точках А, В, С, а длины сторон равны соответственно.

87. Однородный стержень изогнут в виде треугольника, вершины которого находятся в точках Определите координаты центра масс этого треугольника.

88. Найти центр масс четырехугольной однородной доски, зная, что углы доски находятся в точках

89. Определите центр масс симметричной стержневой фермы ADBC (рис. 26), у которой (масса одного погонного метра каждого стержня одна и та же).

90. Найдите положение центра масс фигуры, размеры и форма которой даны на рис. 27, приняв за полюс точку А.

Рис. 26	Рис. 27

91. Найти положение центра масс плоской стержневой фермы состоящей из пяти стержней (рис. 28), если

Рис.28	Рис.29

92. Найти положение центра масс плоской стержневой фермы состоящей из семи одинаковых стержней, каждый из которых имеет длину а и массу р (рис. 29).

93. На двух смежных сторонах квадрата ABCD вне его построены равнобедренные прямоугольные треугольники ВНС и CED (рис. 29). Найти центр масс полученной пятиугольной фигуры если сторона квадрата равна а.

94. Из плоской квадратной пластины ABCD со стороной а вырезан прямоугольный треугольник AВЕ с углом АВЕ, равным 60⁰. Найти положение центра масс пятиугольника AЕВCD.

95. Доказать, что центр масс стержневого правильного тетраэдра совпадает с центроидом вершин тетраэдра.

2.7.4. Вычисление работы,
моментов инерции и угловых скоростей

Ниже будут разобраны некоторые задачи, которые показывают практическую значимость указанных произведений в различных разделах физики.

Как уже было сказано, скалярное произведение векторов применяется для вычисления скалярной проекции вектора на ось и при разложении вектора по заданным направлениям. В физике его используют при вычислении работы силы при перемещении точки ее приложения на вектор а также мощности силы.

Работа силы

Если точка движется по направлению действия силы, то по определению работа силы равна произведению величины силы на длину перемещения: Если точка движется под углом к направлению действия силы, то работает только та составляющая силы которая направлены по линии перемещения, перпендикулярная же составляющая вектора силы уравновешивается сопротивлением. Скалярная составляющая вектора в направлении вектора равна Поэтому то есть работа равна скалярному произведению векторов и

Мощность силы мощность – скалярная физическая величина, характеризующая воздействие силы на движение точки. Она равна скалярному произведению силы на скорость точки в данной системе отсчета:

96. Вычислить, какую работу производит сила когда ее точка приложения перемещается из начала в конец вектора

97. Вычислить, какую работу производит сила когда ее точка приложения перемещается из точки в точку

98. Даны три силы, приложенные к одной точке: Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда её точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки в точку

99. Даны три силы и Найти работу равнодействующей силы и силы если её точка приложения перемещается из начала в конец вектора

100. Определить длину наименьшей дуги большого круга, проходящего через точки земной поверхности, долгота и широта которых равны соответственно

Моментом приложенной к точке А силы f относительно точки В называется вектор Расстояние от точки В до линии силы называется плечом силы относительно точки В.

101. Определить момент силы приложенной к точке А, относительно точки В в каждом из следующих случаев: а) b) с) d)

102. Сила приложена к точке Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.

103. Сила приложена к точке Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки

104. Даны три силы, приложенные к одной точке и Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки

105. Показать, что: а) момент силы относительно точки не меняется, если точку приложения силы перемещать по прямой, вдоль которой сила действует; b) момент равнодействующей нескольких сил, приложенных к одной и той же точке, равен сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

106. Сила приложена в точке с радиус-вектором Найти: a) момент силы относительно начала координат; b) плечо силы; c) составляющую силы, перпендикулярную к

107. Длина гаечного ключа 30 см. С какой силой, перпендикулярной ключу, рабочий нажимает на ключ при завинчивании гайки, если момент этой силы равен

Вращательное движение, угловая скорость и угловое ускорение

Движение тела называется вращательным, если оно движется так, что две его точки, например А и В, остаются неподвижными. Можно доказать, что при вращательном движении твердого тела траектории всех его точек – окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на оси. Если точка М движется по окружности радиуса R, то скорость точки будет иметь численное значение, равное

Величина называется угловой скоростью вращения радиуса R. При круговом движении величина скорости точки вычисляется по формуле Направлена скорость по касательной к окружности, то есть перпендикулярно радиусу, проведенному в точку М.

108. Твердое тело вращается с угловой скоростью относительно некоторой фиксированной оси. Доказать, что скорость любой точки этого тела равна где – вектор, начало которого находится в произвольно выбранной точке на оси вращения, а конец – в данной точке.

Решение. Так как любая точка тела движется по окружности, то ( - центр окружности, по которой перемещается точка лежит на оси вращения). Так как есть плечо вектора угловой скорости, то Вектор по направлению совпадает с вектором . Из сказанного следует, что

= =

Здесь – любая точка на оси вращения. Итак, для всякой точки вращающегося тела скорость определяется формулой Эйлера - вектор угловой скорости.

109. Велосипедист едет с постоянной скоростью по прямолинейному участку дороги. Найти мгновенные скорости точек лежащих на ободе колеса на горизонтальном диаметре, вертикальном диаметре и диаметре составляющем с поверхностью земли угол 45⁰.

Решение. При качении колеса по земле все его точки участвуют одновременно в двух движениях: вдоль земли с постоянной скоростью направление которой все время горизонтально, и вокруг оси с касательной скоростью величина которой постоянна, а направление меняется. При качении без проскальзывания скорости и равны по величине. Значение мгновенной скорости любой точки колеса можно найти, складывая векторы и по любому из правил сложения векторов.

110. Линейная скорость точек на рабочей поверхности шлифовального круга не должна превышать 100м/сек. Определить предельную угловую скорость круга диаметром 30 см.

111. Найти предельную скорость движения автомобиля, если на этой скорости его колесо диаметром 1, 1 м вращается, делая 310 об/мин.