Двойное векторное произведение

Схема 12

В качестве упражнения предлагаем указанные свойства доказать самостоятельно.

2.6. Применение векторов
в аналитической геометрии. Задачи

Простейшие геометрические задачи, на базе которых решаются задачи более содержательные и значимые, приведены на схеме 13. Каждая её строка содержит некоторый геометрический факт и его запись с помощью векторов. Получить эту запись, используя геометрические свойства заданных объектов, читателю предлагается самостоятельно. При этом он может использовать и любой учебник по аналитической геометрии.

Замечания

1. Утверждения 1, 2 лежат в основе вывода уравнений прямой линии как на плоскости, так и в пространстве.

2. Утверждения 9 и 10 лежат в основе вывода уравнений плоскости.

3. Утверждение 11 позволяет получить уравнение прямой линии на плоскости по точке и нормальному вектору.

Решение следующих задач требует знания определения уравнения множества точек относительно заданной системы координат.

Уравнением множества точек (на плоскости или в пространстве) относительно заданной системы координат называется уравнение или неравенство, которому удовлетворяют координаты любой точки этого множества, но не удовлетворяют координаты точек, которые этому множеству не принадлежат. Заметим, что множество может быть описано не одним, а несколькими уравнениями или неравенствами.

Схема 13

Используя это понятие, решите следующие задачи:

15. Написать уравнение прямой заданной точкой и вектором который является направляющим для т.е. удовлетворяет условию

16. Решить эту же задачу, если т.е. если рассматривается прямая в пространстве.

17. Написать уравнение прямой лежащей в плоскости, если известна одна ее точка и вектор

18. Написать уравнение прямой по двум ее точкам и в случаях:

а) если т.е лежит в плоскости;

б) если т.е. если лежит в пространстве.

19. Написать уравнение плоскости, если известно:

а) что она проходит через точку параллельно векторам и

б) она проходит через три точки:

в) она проходит через точку перпендикулярно к вектору

Задачи, решаемые с использованием скалярного, векторного и смешанного произведений

Из определения и свойств скалярного произведения следует:

1.

2. ;

3.

4.

5. Если то где – углы, которые составляют вектор с базисными векторами

Из определения и свойств векторного произведения следует:

1.

2. Если и при некотором

3.

Из свойств смешанного произведения трех векторов заключаем:

1. , , – правая тройка, если

, , – левая тройка, если

2. , , – компланарны

3. – параллелепипед;

– треугольная призма;

– треугольная пирамида.

20. Даны вершины треугольника: Определить его внутренний и внешний углы при вершине

21. Доказать, что треугольник где равнобедренный. Вычислить его внутренние и внешние углы.

22. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

23. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями и углы и а с осью – острый угол

24.. Даны две точки Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями и углы и а с осью – тупой угол

25. Вычислить проекцию вектора на ось вектора

26. Даны три вектора: и Вычислить скалярную проекцию вектора на ось вектора

27. Даны три вектора и Вычислить скалярную проекцию вектора на ось вектора

28. Даны три вектора и Вычислить скалярную проекцию вектора на ось вектора

29. Даны две точки Вычислить проекцию вектора на ось вектора

30. Даны точки Вычислить проекцию вектора на ось вектора

31. Вычислить площадь треугольника если

32. Даны вершины треугольника: Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины

33. Вычислить синус угла между векторами и

34. Определить, какой является тройка векторов (правой или левой), если

1) 2) 3)

4) 5) 6)

35. Установить, компланарны ли векторы если

1)

2)

3)

36. Доказать, что четыре точки лежат в одной плоскости.

37. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках

38. Даны вершины тетраэдра: Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины

39. Объем тетраэдра равен три его вершины находятся в точках Найти четвертую вершину если известно, что она лежит на оси