Криволинейный интеграл II рода

Криволинейный интеграл 2-го рода определяется для векторного поля вдоль кривой

Физический смысл этого выражения – работа силы вдоль пути на отрезке

Формула Грина:

Здесь – замкнутый контур, ограничивающий область D, направление обхода контура таково, что область D остается слева.

Задача 11. Вычислить работу A переменной силы а) вдоль первого витка спирали б) вдоль отрезка где в) вдоль ломаной

Решение: а)

б)параметризация отрезка такова:

в)

Т.е. работа зависит от формы пути, поэтому поле не является потенциальным. Иначе говоря, не существует такого скалярного поля для которого бы выполнялись одновременно 3 равенства:

Задачи для самостоятельного решения: [5, с. 146–147]; [10, с. 86–90] или [4, с. 160–161].

12. Вычислить криволинейный интеграл II рода по следующим кривым: а) б) в) соединяющими точку с точкой

13. Вычислить

14. Вычислить

15. Вычислить где – пересечение сферы с частями координатных плоскостей, ограничивающих первый октант.

Задача 16. Используя формулу Грина вычислить криволинейный интеграл где – верхняя полуокружность

Решение. Положим и, следовательно, Поэтому

Задача 17. Вычислить криволинейный интеграл где

Решение.

поэтому