Основные характеристики полей

Дивергенция векторного поля в данной точке М определяется как предел отношения его потока через замкнутую поверхность σ, содержащую внутри себя точку М, в направлении внешней нормали, к объему v тела Ω, границей которого служит поверхность σ, при условии, что :

Дивергенция в точке M характеризует «мощность источника» M (если она положительна) и «мощность стока» M (если она отрицательна). В декартовых координатах это скалярное поле выражается формулой: здесь

Имеет место формула Остроградского – Гаусса

В этой формуле поток Π в левой части равенства вычисляется для замкнутой поверхности σ в направлении внешней нормали к ней, тройной интеграл в правой части равенства вычисляется по телу Ω, границей которого служит поверхность σ. В более подробной записи правая часть приобретает вид: Π =

Задача 30. Найти поток векторного поля через всю поверхность цилиндра, ограниченного поверхностями: в направлении внешней нормали.

Решение.

Задачи для самостоятельного решения: [5, с. 196–197; 10, с. 79–80; 4, с. 166 (без 3.8)].

Ротор векторного поля обозначаемый символом есть новое векторное поле, которое строится следующим образом: его ортогональная проекция на произвольный единичный вектор вычисляется по формуле:

Здесь – произвольный замкнутый контур, лежащий в плоскости, перпендикулярной вектору который обходится против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора содержит внутри себя точку М, S – площадь фигуры, ограниченной контуром

В декартовых прямоугольных координатах имеет вид:

Здесь поле имеет координаты

Ротор характеризует завихренность поля в данной точке.

Задача 31. Найти поток векторного поля через сферу в направлении внешней нормали.

Решение.

Задача 32. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали двумя способами: а) непосредственно, б) по теореме Остроградского – Гаусса.

Решение. а) Для найдем Т.к. то

Поэтому

б)

=

Задача 33. Поле с нулевой дивергенцией называется соленоидальным. Выяснить, какие из следующих полей соленоидальны:

а) (да)

б) (нет)

в) (да)

Задача 34. Найти дивергенцию векторного поля где – постоянный вектор,

Решение.

Задача 35. Электростатическое поле точечного заряда q равно Вычислить

Решение. Очевидно, что

ибо поэтому

Далее, векторное поле характеризует зависимость поля В самом деле, рассмотрим вращение твердого тела вокруг оси с угловой скоростью тогда линейная скорость точки этого тела представима в виде:

Т.е. сонаправлен с осью вращения его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения тела и не зависит от точки М.

Теорема Стокса. Циркуляция векторного поля по произвольному кусочно-гладкому замкнутому контуру равна потоку векторного поля через поверхность границей которого служит Обход контура против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора -нормали к поверхности

Задача 36. Вычислить циркуляцию С векторного поля по окружности в положительном направлении относительно вектора

Решение. а) Непосредственно.

б) По теореме Стокса. Здесь – круг

в) По теореме Стокса. – полусфера Найдем Поскольку то Поэтому В полярных координатах

Рассмотренный выше пример служит подтверждением теоремы Стокса в той ее части, которая касается произвольности поверхности s, границей которой служит заданный контур

Задачи для самостоятельного решения: [4, с. 168–169; 5, с. 246–247 задачи № 50 – 54; 10, с. 90–96].

4.3.2. Специальные виды векторных полей – потенциальное и соленоидальное

Поле называется потенциальным, если оно является полем градиента некоторого скалярного поля. Иначе, поле потенциально, если существует скалярное поле U, такое что Функция U называется потенциалом поля Критерием потенциальности поля является равенство нулю вихря: Если потенциально, то

т.е. интеграл не зависит от пути интегрирования и равен разности потенциалов между конечной точкой кривой и ее начальной точкой.

Задача 37. Найти потенциал поля

Решение. Убедимся в его потенциальности, и если оно потенциально, то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит лишь от начальной и конечной её точки В. Итак, Тогда разность потенциалов где Соединим точки А и В ломаной: Тогда Найдём каждое из слагаемых:

Искомый интеграл будет равен

Поэтому

Задачи для самостоятельного решения: [4, с. 173–174; 5, с. 247 задачи № 55, 57, 59; 10, с. 108].

Поле, в котором дивергенция равна нулю, называется соленоидальным. Векторные линии поля (кривые, касающиеся поля в каждой своей точке) не могут начинаться или заканчиваться в области соленоидальности; это может происходить лишь на границе этой области, либо эти кривые замкнуты. В соленоидальном поле поток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение, что следует из теоремы Остроградского – Гаусса.

Задачи для самостоятельного решения: [4, с. 175; 10, с. 123–125].