Некоторые физические задачи из теории поля

Задача 38 (10, с. 18, пр. 3]) Электрический ток силы I течет по бесконечному проводу вдоль оси Найти напряженность магнитного поля, создаваемого этим проводом в произвольной точке пространства.

Решение. По закону Био-Савара Здесь – напряженность магнитного поля, создаваемого током в произвольной точке M пространства. Элемент тока определяется значением на вектором и величиной I (в точке ); вектор идет из точки в M. Если – единичный вектор, сонаправленный с осью – с осью – с осью то Тогда

Поэтому

Таким образом, где – расстояние от точки М до оси

Задача 39. Установить является ли поле из задачи потенциальным, и в случае положительного ответа на этот вопрос, найти его потенциал.

Решение. Для потенциальности поля достаточно установить равенство

Таким образом, поле потенциально всюду за исключением точек оси т.е. самого проводника.

Найдем потенциал поля т.е. такую функцию для которой

Поскольку то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит лишь от начальной точки и конечной точки Проинтегрируем вдоль ломаной , у которой

Тогда где Найдём каждый из интегралов, стоящий в правой части равенства:

Таким образом,

где В самом деле, Итак,

Для проверки вычислим grad φ:

Задача 40. Выяснить, является ли поле соленоидальным. Если да, то найти его векторный потенциал.

Решение. Для соленоидальности поля достаточно установить равенство т.е. равенство что получается мгновенно: Таким образом, поле соленоидально всюду, за исключением оси Найдем новое поле , такое что или, что равносильно, из этих равенств имеем:

Для нахождения всех решений достаточно найти одно, поскольку где – любая функция от ибо всегда Поэтому, полагая , найдем откуда Поэтому Проверим равенство

Поэтому где f – любая непрерывно дифференцируемая функция переменных .

Задача 41. Найти векторные линии поля .

Решение. Уравнение векторной линии: Поскольку то т.е. Далее, Отсюда что означает т.е. Таким образом, векторные линии суть окружности

Задача 42. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль окружности

Решение.

Отличность от нуля циркуляции поля вдоль объясняется наличием особой точки вектор-функции внутри контура ω. Число носит название циклической постоянной относительно особой точки Значение циклической постоянной не зависит от контура содержащего внутри себя эту точку. Заметим, что если контур не содержит внутри себя точку , то

Учебная литература

1. Акивис, М.А. Тензорное исчисление / М.А. Акивис, В.В. Гольдберг. – М.: Наука, 1969. – 352 с.

2. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. – М.: Наука, 1979. – 432 с.

3. Батыгин, В.В. Сборник задач по электродинамике / В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин. – М.: Наука, 1970. – 504 с.

4. Болгов, В.А. Сборник задач по математике для втузов / В.А. Болгов, Б.П. Демидович, В.А. Ефименко, и др.; Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1981. – 368 с.

5. Бутузов, В.Ф. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие для вузов / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, и др.; Под ред. В.Ф. Бутузова. – М.: Высшая школа, 1988. – 288 с.

6. Гусак, А.А. Задачи и упражнения по высшей математики. Ч. 2 / А.А. Гусак. – Минск, Вышэйшая школа, 1988. – 232 с.

7. Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу / Б.П. Демидович. – М.: Физматгиз, 1962. – 544 с.

8. Ильин, В.А. Основы математического анализа. Ч. 2 / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк – М.: Наука, 1980. – 448 с.

9. Каплан, И.А. Практические занятия по высшей математике. Ч. 4 / И.А. Каплан. – Харьков, 1966. – 236 с.

10. Краснов, М.Л. Векторный анализ / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. – М.: Наука, 1978. – 160 с.

11. Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа: Учебник для вузов: В 2 т. / Л.Д. Кудрявцев. – М.: Высшая школа, 1988. – Т. 2 – 576 с.

12. Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) / Л.А. Кузнецов. – М.: Высшая школа, 1983. – 176 с.

13. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: В 2 т. / Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1972. – Т. 2. – 576 с.

14. Современная математика для инженеров / Под ред. Э.Ф. Беккенбаха. – М.: ИЛ, 1959. – 500 с.

15. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа: В 2 т. / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1968. – Т. 2. – 464 с.

Ответы и указания