Глава 2.

1. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 5. 6. 20. 22. . 23. . 24. –5. 25. 6 26. –4. 27. . 28. –11. 29. 3. 30. 31. 14. 32. 5. 33. 34. 1) правая; 2) левая; 3) левая; 4) правая; 5) векторы компланарны; 6) левая 35. 1) компланарны; 2) не компланарны; 3) компланарны. 37. 3 куб. ед. 38. 11 39. D₁ (0, 8, 0), D₂ (0, -7, 0). 42. (-6, 6, -3) 52. 30 км/час, северо-запад. 54. S_y=2, 1 м; S_x=10, 0 м; t=1, 3 сек. 55. Так как горизонтальная составляющая скорости камня постоянна, то горизонтальная составляющая ускорения равна 0. Поэтому полное ускорение камня все время направлено вертикально вниз и равно ускорению силы тяжести. Поэтому а = g = (см. рис.)

Из рисунка видим, что , .

Отсюда .

Так как и , то , .

Подставляя численные значения в выражения для а_t и a_n, получим м/сек², м/сек². 59. Равнодействующая двух противоположно направленных, не равных по модулю сил, приложенных к точкам А и В стержня, им параллельна, направлена в сторону большей силы и равна по модулю их разности; линия действия равнодействующей делит [ AB ] внешним образом в отношении, обратно пропорциональном модулям этих сил. Решение аналогично решению задачи 58. 61. растягивает сжимает АВ. 62. В тросе АС: | |= , в тросе СВ. | |= (силы растяжения) 63. В стержне АВ действует растягивающая сила – 120 (ед.), в стержне СВ сжимающая сила – (ед.). 64. 10, 10, . 65. Для решения задачи выбрать СК так, чтобы О (0, 0, 0). ; ; . Далее требуется разложить по направлению действия сил || , || , || . Для этого надо найти орты , , : , , . Затем разложить =| |· по этим ортам. Ответ: – сила растяжения горизонтальных стержней, – сила сжатия стержня ОС. 66. Натяжение тросов осуществляется силами вектор направлен противоположно вектору вектор – противоположно вектору 67. 1, 16 кг, 0, 85 кг. 68. 104 кг, 52 кг. 69. 90 кг, 89 кг. 70. 2000 кг, 1600 кг. 71. 4000 кг, 5300 кг. 72. Для решения задачи разложить вектор по направлениям , и . Для этого ввести прямоугольную декартову систему координат и найти в ней орты и Затем воспользоваться задачей разложения вектора по ортам найденных векторов. Ответ: Стержень будет сжиматься, а тросы и будут растягиваться. 73. Вектор () лежит в плоскости крана ABCD и, следовательно, можно представить в виде суммы двух векторов: ; Пусть – натяжение струны . ~ , следовательно, . Отсюда . ВС находим из ; , Выберем базис , как показано на рис. 29. Прямая составляет равные углы с прямыми АЕ и AF. Следовательно, имеет орт Так как то и Тогда то есть Далее Найдем орты векторов и Соответственно получим Теперь осталось разложить вектор по векторам , и Для этого надо воспользоваться формулой, полученной в задаче 44 б): . После подсчетов должно получиться Отсюда 74. 75. где , , 78. (5, 5; 4, 75). 80. (11, 5). 81. 12, 5 см от противоположной веревки. 82. м от опоры А. 84. Если то 86. 87. (3; 0, 5). 89. Если за начало координат принять точку Е – середину отрезка АВ, а за оси координат – прямые ЕВ и ЕС, то центр масс имеет координаты (0; 1, 582). 90. (7, 8), если за начало координат выбрана точка А, ось Ох направлена в сторону луча АВ, ось Оу – в сторону луча АС. 91. Центр масс однородного стержня находится в его середине. Поэтому искомый центр масс совпадает с центром масс системы материальных точек E, F, H, R, L, где Е – середина АВ, F – середина ВC, H – середина СD, К – середина АС, L – середина АD. Примем точку А за полюс, а радиус-векторы указанных точек обозначим соответственно Поскольку все стержни сделаны из одного материала, то масса их пропорциональна длине, поэтому можно считать, что а найдем, подсчитав длину отрезка (по теореме косинусов для треугольника АСD): . Теперь по формуле для радиус-вектора центра масс имеем . Так как , то для радиус-вектора центра масс фермы имеем . 92. Принять точку С за полюс. Центр масс лежит на отрезке СК на расстоянии от точки С. 93. Центр масс фигуры лежит на отрезке ОС, где О – центр квадрата, на расстоянии от центра квадрата. 94. Если центр О квадрата АВСD – полюс, – радиус-вектор середины отрезка , – радиус-вектор середины отрезка ВС, – радиус–вектор вершины , – радиус–вектор центра масс треугольника АВЕ, то , где – площадь квадрата, а – площадь треугольника . Выразив вектор через векторы и и найдя площади и , получим 96. 17. 97. 31. 98. 21. 99. -18. 100. Указание. Для решения задачи рассмотреть прямоугольную декартову систему координат с началом в центре Земли, осью Оz, направленной вдоль земной оси на север, осью Ох, отвечающей углам , и осью Оy, перпендикулярной к Ох. При этом долгота пусть меняется от 0⁰ до 360⁰.Тогда можно найти прямоугольные декартовые координаты точек А() и В() и разложить по базисным векторам радиус-векторы этих точек. Далее следует найти угол между этими векторами, а затем – и длину искомой дуги; 101. а) (15, -3, -14), b) (0, 0, 0), с) (-3, 11, 9), d) (-4, 3, 4). 102. . 103. 104. 106. a) б) плечо h=2, 8; в) (-354, -248, 0). 107. 150 Н. 110. 6400 об/мин. 111. 64 км/час. 112. 113. По условию Координаты точки М удовлетворяют уравнению: 114. Пусть прямые заданы уравнениями: и а отношение где – точка, описывающая траекторию искомого в задаче множества, N и L – проекции точки М на первую и вторую прямую соответственно. Тогда М описывает пару пересекающихся в начале координат прямых 115. 116. Если ось сонаправить с вектором то , и если то – прямая, перпендикулярная вектору 117. 118. – эллипс, если гипербола, если 119. – гипербола. 120. – парабола. 122. – прямая, если точки и движутся по координатным осям по законам: 123. 126. 127. 128. 129. 130. при точка имеет координаты 131. 1) 2) 3) 4) 132. 1) 2) 3) 133. 1) 2) 3) 134.