Поверхностный интеграл II рода

Способы вычисления потока векторного поля зависят от задания поверхности Возможный три случая.

1) В этом случает поверхность однозначно проектируется на плоскость и

Здесь – угол между и Нормаль находится по формуле: причем знак “+” выбирается в том случае, если нормаль и образуют острый угол, в противном случае – “–”.

Задача 24: 1. Найти поток векторного поля через верхнюю сторону поверхности , ограниченную

Рис. 1

Решение. Здесь поэтому

т.к. следовательно

Поэтому

И, следовательно ибо – четверть круга радиуса

2) Поверхность задана неявным уравнением

В этой ситуации вектор нормали может быть вычислен по формуле:

Здесь Выбор знака в выражении для вектора нормали осуществляется в соответствии со стороной поверхности

Задача 25. Найти поток П векторного поля через сферу в направлении внешней нормали Т.к. в точке вектор то

Замечание. Для замкнутой поверхности имеет место формулы Остроградского – Гаусса: Здесь – трёхмерное тело, границей которого служит Итак, поток П для предыдущего примера:

c) Поверхность биективно проектируется на все три координатные плоскости: области – суть проекции поверхности на плоскости (Oxy), (Oxz) и (Oyz), соответственно. В такой ситуации

,

здесь знаки перед первым, вторым и третьим интегралом равны соответственно знакам скалярных произведения и или, что равносильно, знакам чисел и . Соответственно: .

Задача 26. Найти поток векторного поля через внешнюю сторону части сферы расположенную в 1-м октанте.

Здесь причем , поэтому

Задачи для самостоятельного решения: [5, с. 180–181; 10, с. 64, 69; 4, с. 164–165].

Задача 27. Найти поток П векторного поля через часть параболоида отсеченную плоскостью в направлении к внешней по отношению к параболоиду нормали.

Решение:

=> берём “–” т.е.: поэтому Перейдём к полярным координатам

Задача 28. Найти поток П векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали

Рис. 2

Проекция на плоскость (Oyz) поверхности – полукруг (см. рис. 3).

Рис. 3

– полукруг

Найдем

и т.к. , то берём с “+”! => ;

Найдём Проекция поверхности на плоскость Оyz -полукруг

Рис. 4

Найдем . Поскольку , то поэтому А поскольку , то

Поэтому

С другой стороны, поскольку поверхность замкнута, то можно применить теорему Остроградского – Гаусса.

Опишем поэтому

Задача 29. Найти поток П векторного поля через часть поверхности расположенную в 1-м октанте. Нормаль к ней образует острый угол с осью

Решение.

Итак, Поскольку и то Π = + + = +2 + 2 . Поскольку то

+

При вычислении интегралов были сделаны следующие замены:

Другой способ. Замкнем поверхность до поверхности пирамиды: По теореме Остроградского – Гаусса

ибо

Π ₃= = ибо х = 0.

Поэтому