Контрольной работы №5

Задание 5.1. Найти общее решение:

.

Преобразуем данное уравнение:

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные

Интегрируем обе части неравенства:

Последнее равенство является общим интегралом исходного уравнения.

Задание 5.2. Найти общее решение:

.

Так как функции и — однородные второго измерения

то данное уравнение — однородное.

Сделаем замену: где — новая неизвестная функция.

.

Тогда:

, .

Далее имеем:

, .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

.

В последнее выражение вместо подставим значение .

Получим общий интеграл:

Выразив отсюда , найдём общее решение исходного уравнения:

.

Задание 5.3. Найти общее решение:

.

Это линейное неоднородное уравнение. Рассмотрим однородное:

.

Решим его:

, ,

По методу Лагранжа общее решение линейного неоднородного уравнения ищем в виде , где — неизвестная функция.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

.

Получим простейшее дифференциальное уравнение 1-ого порядка:

, , .

Окончательно, общее решение нашего уравнения имеет вид:

.

Задание 5.4. Найти общее решение:

Введём обозначения:

Так как ; , а следовательно , то уравнение является уравнением в полных дифференциалах, а его левая часть есть полный дифференциал , причем

Далее:

;

т.е.

, , а, .

Общий интеграл исходного уравнения имеет вид U (x, y)=C или

.

Задание 5.5. Найти общее решение:

Это уравнение 2-ого порядка, не содержащее искомой функции . Оно допускает понижение порядка уравнения заменой , .

После замены исходное уравнение превращается в однородное уравнение первого порядка:

.

Делаем подстановку:

, .

Тогда

.

Разделяем переменные:

, , ;

. .

Так как , то

Находим:

.

Общее решение уравнения имеет вид:

.

Задание 5.6. Найти общее решение:

Это уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной . Оно допускает понижение порядка уравнения заменой:

,

После замены, исходное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными:

Решаем это уравнение:

,

Так как , то .

Снова получили уравнение с разделяющимися переменными, поэтому

, .

Значит, — общее решение нашего уравнения.

Задание 5.7. Решить задачу Коши:

, , ,

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

, , , , .

Общее решение исходного уравнения имеет вид:

.

Находим:

.

Используем начальные условия

Решаем систему:

, , , .

Решение задачи Коши имеет вид:

.

Задание 5.8. Найти общее решение:

.

Находим корни характеристического уравнения:

Следовательно общее решение однородного уравнения имеет вид

(; — фундаментальная система решений):

.

Правая часть уравнения представляет собой сумму функций и .

Для нахождения частных решений, соответствующих этим функциям составляем:

для

S=1 (кратность числа среди корней характеристического уравнения)

;

для :

(кратность числа среди корней характеристического уравнения).

т.е. — частное решение нелинейного уравнения с неизвестными коэффициентами.

Подставляем в исходное уравнение:

Для выполнения тождества необходимо равенство коэффициентов:

Поэтому:

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид:

,

а его общее решение:

Задание 5.9. Найти общее решение:

Находим общее решение однородного уравнения:

Частное решение неоднородного уравнения по методу Лагранжа имеет вид:

Для нахождения функций составляем систему:

Тогда:

Таким образом, общим решением уравнения является функция:

Здесь A_i, B_i (i =1, 2, 3).

Задание 5.10. Методом исключения найти общее решение системы:

Первое уравнение продифференцируем по :

Из второго уравнения подставим в полученное выражение :

Из первого выразим и подставим его в последнее уравнение:

Окончательно получим:

Решаем это уравнение:

;

Из выражения для получим:

Таким образом, общее решение системы имеет вид:

.

Задание 5.11. а) Методом характеристического уравнения найти общее решение системы:

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

Для составляем систему:

Пусть тогда и

Для :

.

Пусть , тогда и

.

Общим решением исходной системы будет вектор функция:

или в координатной форме:

б) С помощью операционного исчисления найти общее решение системы:

Применим преобразование Лапласа к обеим частям каждого уравнения:

Пользуясь свойством линейности преобразования и теоремой о дифференцировании оригинала:

получим:

Т. к. и не заданы, то считаем их произвольными величинами:

Тогда

Откуда

Для восстановления оригиналов и разложим дроби на простейшие:

Тогда

Поскольку и — произвольные, то можно ввести обозначения:

Поэтому:

Так как для изображения оригиналом является , то получаем общее решение системы:

Решение типового варианта