Задание 6.9. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Для данного степенного ряда вида , , , x₀ = -2. Определим радиус сходимости ряда . Таким образом, ряд сходится в интервале (x₀ - R, x₀ + R), т.е. (-2-5; -2+5) или (-7; 3). Исследуем сходимость ряда на концах интервала. Возьмем x=3. Получим числовой ряд .

Предел общего члена этого ряда , следовательно, ряд расходится. При x = -7 получим знакочередующийся ряд , для которого не выполняется признак сходимости Лейбница . Значит, и при x = -7 данный степенной ряд расходится. Таким образом, исходный степенной ряд сходится в интервале .

Замечание. Область сходимости степенного ряда можно находить и как для произвольного функционального ряда . В этом примере . По признаку Д'аламбера

. Отсюда . Далее, как и выше, последует сходимость в точках и .

Задание 6.10. Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки . Найти область сходимости полученного ряда.

Решение. Искомое разложение можно найти с помощью формулы

,

положив в ней и вычислив значения производных функции при . Но проще получить разложение, используя известное разложение для функции

,

в котором ряд справа сходится к функции в интервале (-1, 1).

Представим . Применяя указанное разложение, получим

.

Так как, ряд, который использовали для разложения, сходится для , то данный ряд сходится для , отсюда . Таким образом, полученный степенной ряд является рядом Тейлора функции в окрестности точки и его областью сходимости является интервал (-6, 0).

Задание 6.11. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить определенный интеграл с точностью до 0.001.

Решение. Воспользуемся рядом Маклорена для , тогда .

Почленно интегрируя этот ряд в промежутке [0; 0.5], получим

Полученный числовой ряд есть ряд Лейбница. Погрешность, происходящая от отбрасывания всех членов ряда, начиная с четвертого , поэтому, чтобы достичь требуемой точности достаточно взять три первых слагаемых

Задание 6.12. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом функцию

=

Решение. Вычислим коэффициенты Фурье:

Ряд Фурье для данной функции запишется в виде

Задание 6.13. Разложить в ряд Фурье функцию заданную в интервале (0; ), продолжив (доопределив) ее четным и нечетным образом. Построить графики для каждого продолжения.

Решение. Продолжим данную функцию четным образом. Тогда:

Найдем неопределенный интеграл выполнив дважды интегрирование по частям:

Вычислим коэффициенты :

Следовательно, разложение данной функции по косинусам имеет вид:

Теперь продолжим данную функцию нечетным образом. Тогда:

Следовательно, разложение данной функции по синусам имеет вид:

Задание 6.14. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию

Решение. Вычисляем коэффициенты

В итоге получаем следующий ряд Фурье:

Задание 6.15. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию

на отрезке [0; 2] и найти сумму ряда

Решение. Продолжим функцию четным образом и вычислим коэффициенты Фурье:

Следовательно,

Полагая получаем:

Таким образом, с помощью ряда Фурье мы нашли сумму числового ряда.

Решение типового варианта