Задача 8.2.

По заданным выборочному среднему и исправленному среднеквадратическому отклонению s найти с доверительной вероятностью g доверительный интервал для математического ожидания M[Х] нормально распределённой СВ X, если: а) s[X] известно (принять s[X]=s); б) s[X] неизвестно. Построить доверительный интервал для s[X]. Число степеней свободы принять равным трём.

=24.3; s =8.2; n = 150; g =0.95.

Решение. а) В случае, когда среднеквадратическое отклонение (СКО) известно

(s [X]=8.2), доверительный интервал для математического ожидания можно запи-сать

где корень уравнения Φ (t) = g/2 = 0.475 отыскивается из таблицы значений функ-ции Лапласа

и равен t = 1.96. Вычисляя величину

находим доверительный интервал (22.98; 25.62).

б) Если СКО неизвестно, в качестве его оценки принимается значение s (s [X] ≈ s), причём значение t определяется из таблицы распределения Стьюдента при g = 0.95 и числе степеней свободы, равном 3 (t=3.18). Тогда доверительный интервал имеет вид (22.17; 26.43).

Доверительный интервал для s [X] запишется

s(1- q) < s [X] < (1 + q)

где q определяется из таблицы q = q(p, n) и для доверительной вероятности g = =0.95 и объёма выборки n=150 равно q = 0. 115. Поэтому границы интервала принимают вид

s(1-q) = 8.2(1-0.115) = 7.26, s(1+q) = 8.2(1+0.115) = 9.15,

т.е., 7.26 < s [X] < 9.15.