Решение. Поскольку функции , g(x)=2x удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, то = =0.

Поскольку функции , g(x)=2x удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, то = =0.

Замечание 1. Теорема Лопиталя справедлива и в том случае, когда функции , не определены в точке x₀, но и .

В самом деле, если доопределить , , положив , тогда , будут непрерывны в точке x ₀, а потому теорема Лопиталя будет применима к ним.

Замечание 2. Правило Лопиталя применимо и в том случае, когда

, .

Действительно, введя новую переменную , видим, что y→  0 при x → ¥. Тогда = = = .

Теорема Лопиталя (раскрытие неопределенностей типа ).

Пусть функции , дифференцируемы в окрестности точке x ₀, за исключением самой точки x ₀, причем , и пусть , . Если существует то существует и , причем

= .

Замечание 3. Предел отношения двух функций может существовать, в то время как предел отношения их производных не существует.

Например, =1, а = – не существует, так как не существует.

Пример 6.3. Найти .