Решение. При x → 0 и x > 0 , , следовательно, имеем отношение двух бесконечно больших при x→0 и неопределенность типа

При x → 0 и x > 0 , , следовательно, имеем отношение двух бесконечно больших при x →  0 и неопределенность типа . Вычислим:

= – = – = 0.

Пример 6.4. Найти .

Решение.

Замечание 4. Если при x → x ₀ () является неопределенностью типа или , и , g' (x) удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, то

= = .

Таким образом, для раскрытия неопределенностей типа или иногда приходится применять правило Лопиталя несколько раз.

Замечание 5. Теорема Лопиталя остается верной и тогда, когда = .

Пример 6.5. Найти .

Решение.

Имеем неопределенность типа . Применяя теорему Лопиталя два раза, получим: = = =¥.

Пример 6.6. Найти .

Решение.

Так как , то имеем неопределенность типа (0·¥). Преобразуем ее к виду :

= , затем применим правило Лопиталя:

= = = =0.

Итак, .

Пример 6.7. Найти

Решение.

.

Пример 6.8. Найти .

Решение.

.

Пример 6.9. Найти .