Решение. Заданная функция определена и непрерывна на всей числовой оси

Заданная функция определена и непрерывна на всей числовой оси . Найдем производную: .

Тогда при x ₁=0 и x ₂ =2. Точки x ₁, x ₂ – критические точки. Эти точки разбивают всю числовую ось на три интервала: (–¥; 0), (0; 2),
(2; +¥). Составим таблицу, в первой строке которой поместим указанные точки и интервалы, во второй строчке – сведения о производной
в точках и на интервалах, а в третьей – поведение данной функции (табл. 2).

Таблица 2

x			(0, 2 )
	убывает		возрастает		убывает

Определим знак на каждом из интервалов: если x Î (–¥, 0), то ; если xÎ (0, 2), то ; если x Î (2, +¥ ¥), то . Отсюда определяется поведение функции : на первом и последнем интервалах функция убывает, а на втором – возрастает (рис.4).

Рис. 4

Отсюда следует, что x ₁ = 0 является точкой минимума, ,
а x ₂ =2 – точка максимума, .

7.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Известно, что если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и наибольшего значения. Иногда требуется найти наименьшее или наибольшее значение такой функции.

Если на отрезке есть точки минимума и максимума функции , то наименьшее значение функция будет принимать либо в одной из точек минимума, либо на конце отрезка . Аналогично для наибольшего значения.

Сформулируем алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f (x), непрерывной на отрезке:

1. Найти критические точки x ₁, x ₂,..., x_n функции . Для этого необходимо решить уравнение .

2. Отобрать все критические точки, принадлежащие отрезку .

3. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.

4. Из этих значений выбрать самое большое и самое малое. Эти числа и будут наибольшим и наименьшим значениями на отрезке .

Пример 7.3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции