Решение. Ищем точки х из области определения функции, в которых или не существует.

Ищем точки х из области определения функции, в которых или не существует.

Вторая производная равна нулю в точках . Эти точки являются искомыми, так как область определения и область непрерывности данной кривой есть вся ось абсцисс. Других точек х, которые могли бы быть абсциссами точек перегиба, нет, так как существует всюду.

Исследуем найденные точки, определяя знак слева и справа от каждой из них. Результаты исследования запишем в таблицу, подобную той, которая составляется при отыскании точек экстремума (табл. 3).

Таблица 3

x			(0, 1)
	выпукла	нет перегиба	выпукла	точка перегиба	вогнута

Выполним построение (рис. 6).

Рис. 6

7.5. Асимптоты

При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Если , то прямая является асимптотой графика (при ). Эта асимптота параллельна оси Ox и называется горизонтальной асимптотой (рис. 7). Аналогично, прямая является асимптотой графика y = f (x) (при ), если .

Рассмотрим асимптоты, параллельные оси Oy.

Прямая x = x ₀ называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов , , является бесконечным (рис. 8).

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти точки разрыва функции второго рода.

Пример 7.9. Найти вертикальные асимптоты для функции .