Решение. Ширину данных досок обозначим через

Ширину данных досок обозначим через . Поперечное сечение желоба изображено на рис. 5,.

Обозначим через угол (), тогда , .

Площадь поперечного сечения (площадь трапеции) будет:

.

Наибольшее значение эта функция принимает в точке максимума, а необходимым условием того, что точка является точкой максимума функции , является то, что или не существует. Найдем :

.

Но всегда существует. Точки, в которых , находятся из уравнения: . Тогда или . Если , то .

Но в этом случае никакого желоба не получится, так как . Остается случай, когда, , тогда , так как .

Проверим, является ли эта точка точкой максимума функции . При , производная функции принимает положительные значения, а при - отрицательные. То есть при площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей.

Таким образом, действительно точка максимума. А площадь поперечного сечения составит

.

7.4. Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба

Пусть – функция, дифференцируемая на интервале . Рассмотрим кривую, являющуюся графиком функции .

Кривая, заданная функцией , называется выпуклой на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Кривая называется вогнутой на интервале , если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Точка кривой M ₀(x ₀, f (x ₀)), отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема 4 (достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции). Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, т. е. , то кривая на этом интервале выпукла; если во всех точках интервала – , то кривая на этом интервале вогнута.

Пример 7.8. Определитьнаправление выпуклости и точки перегиба кривой