Решение. Функция определена и непрерывна во всех точках числовой оси, за исключением точки x0 = 2, в которой функция терпит разрыв,

Функция определена и непрерывна во всех точках числовой оси, за исключением точки x₀ = 2, в которой функция терпит разрыв,

= –¥, = +¥. Следовательно, прямая х = 2 является вертикальной асимптотой для графика y = . Кроме того, = 0 и = 0, следовательно, прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой при и при .

Рассмотрим асимптоты, которые не параллельны координатным осям (рис. 9). Будем называть их наклонными асимптотами.

Прямая называется наклонной асимптотой функции , если функцию можно представить в виде

, (7.1)

где , при .

Определим числа k и b.

Поделим обе части равенства (7.1) на и перейдем к пределу при :

Откуда:

(7.2)

Определим коэффициент .

Равенство (7.1) перепишем в виде:

Перейдем к пределу , получим.

.

(7.3)

Если хотя бы один из пределов (7.2), (7.3) не существует, то при кривая не имеет наклонной асимптоты.

Аналогично решается вопрос об асимптотах при .

Замечание. Отдельно находить горизонтальные асимптоты нет необходимости: они будут найдены при нахождении наклонных асимптот (при k =0).

Пример 7.10. Найти асимптоты линии .