Решение. Неравенство , т. е. , справедливо для x<–1 и для x>1

.

Неравенство , т. е. , справедливо для x < –1 и для x > 1. Следовательно, функция возрастает на интервалах (–¥, –1)
и (1, +¥).

Поскольку неравенство , т. е. справедливо для

x Î (–1, 1), то на интервале (–1, 1) функция убывает.

7.2. Экстремумы функции

Дадим точные определения точкам максимума и минимума функции. Пусть функция определена на промежутке X и x₀ Î X. Говорят, что в точке x₀ функция имеет максимум (минимум), если существует такая окрестность точки x ₀, что для любого x из этой окрестности ().

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Замечание 1. Точки экстремума всегда являются внутренними точками промежутка, т. е. не могут быть его концом.

Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Если функция дифференцируема в точке x ₀ и некоторой ее окрестности и x ₀ – точка экстремума, то .

Следствие. Если x ₀ – точка экстремума, то или не существует.

В качестве примера приведем функцию (рис. 3).

Очевидно, что x ₀ = 0 является точкой минимума, так как |0|< |x| для любого x ≠ 0. А в точке x ₀ = 0 производной не существует.

Если или f' (x ₀) не существует, то точку x ₀ будем называть критической (или подозрительной на экстремум). Критическая точка может и не быть точкой экстремума.

Теорема 3 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция определена и непрерывна в точке x ₀ и некоторой ее окрестности, дифференцируема в этой окрестности, за исключением, быть может самой точки x ₀, и точка x ₀ – критическая точка для функции (т. е. или не существует). Тогда:

1) если при x < x ₀ производная , а для x > x ₀: , то x ₀ – точка максимума;

2) если при x < x ₀: , а при x > x ₀: , то x ₀ – точка минимума.

Пример 7.2. Исследовать на монотонность и экстремумы функцию . Построить её график.