Теория матриц.

Конспект лекций

по дисциплине

«Специальные разделы высшей математики»

для направления: 08.04.01 «Строительство»

Краснодар 2015

Алгебра матриц

Лекция 1. Теория матриц. Системы линейных уравнений. Матричные методы строительной механики.

Элементы математической статистики

Лекция 2. Элементы математической статистики. Выборки. Точечные оценки неизвестных параметров распределения по выборке, понятие состоятельности и несмещенности оценок.

Лекция 3. Понятие о доверительных интервалах и статистической проверке гипотез. Понятие о задании случайного процесса. Процессы с независимыми приращениями. Пуассоновский процесс.

Лекция 1.

Теория матриц. Системы линейных уравнений. Матричные методы строительной механики.

Теория матриц.

Матрица размера (типа) – это прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов

,

над которой можно выполнять определенные алгебраические действия.

Чтобы сложить (вычесть) две матрицы, надо сложить (вычесть) соответствующие элементы этих матриц. Складывать (вычитать) можно матрицы только одного типа. Чтобы умножить матрицу на число l, надо все элементы матрицы умножить на это число.

Произведением матрицы типа на матрицу размерами называется матрица типа , элементы которой вычисляются по правилу

, , .

Это означает, что для получения элемента , стоящего на пересечении i- ой строки k -го столбца матрицы С нужно найти скалярное произведение i- ой вектор-строки ⁱ матрицы А и k -го вектор-столбца матрицы В, т.е. .

Матрица размера n n называется квадратной матрицей n -го порядка. Элементы a ₁₁, a ₂₂, …, a_nn образуют главную диагональ матрицы.

Если все элементы главной диагонали квадратной матрицы равны единице, а остальные нулю, то матрица называется единичной.

Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем (или детерминантом) матрицы и обозначается .

Определителем матрицы второго порядка называется число, определяемое формулой

Определителем матрицы третьего порядка называется число, определяемое формулой

Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если , и невырожденной (неособенной), если .

Матрица А ^–1 называется обратной для квадратной матрицы А, , если , где Е – единичная матрица.

Обратная матрица вычисляется по формуле

,

где – определитель матрицы А,

А_ij – алгебраическое дополнение элемента а_ij.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij определителя n- го порядка называется определитель (n –1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i -й строки и j- го столбца и умноженный на (–1) ^i+j.