Применение теории матриц в строительных расчетах

Конечные элементы, из которых собирается расчетная схема любой конструкции, имеют общие характеристики. Так, для любого конечного элемента определяющим является число его степеней свободы, то есть общее число всех возможных перемещений во всех узлах конечного элемента. При этом для элемента одного типа можно учитывать как все, так и лишь некоторые из возможных перемещений в узле. Количество учитываемых узловых перемещений определяется контекстом решаемой задачи.

Выбор типов конечных элементов для моделирования конструкции определяется в первую очередь особенностями исходной системы. В каждом конкретном случае для моделирования системы выбираются соответствующие конечные элементы с числом и характером степеней свободы (узловых перемещений), определяющих основные особенности работы системы.

В зависимости от числа учитываемых в расчете степеней свободы в узле конечного элемента формируется матрица жесткости конечного элемента.

Матрица жесткости представляет собой универсальный математический объект, используемый в методе конечных элементов для описания упругих свойств как отдельных элементов, так и более крупных частей рассматриваемой системы, а также всей системы целиком. Матрица жесткости может быть составлена и для бесконечно малого элемента.

По определению матрица жесткости представляет собой таблицу значений реакций в связях узлов конечного элемента от единичных перемещений, последовательно задаваемых по направлению этих связей.

Фактически матрица коэффициентов при неизвестных канонических уравнений метода перемещений представляет собой матрицу жесткости конструкции.

Если обратиться к таблицам традиционного метода перемещений, легко заметить, что в них содержатся элементы матрицы жесткости стержневого конечного элемента b.

Порядок матрицы жесткости определяется числом учитываемых степеней свободы конечного элемента. Для конечного элемента a с двумя степенями свободы в каждом узле (это линейные перемещения по направлению каждой из осей системы координат) порядок матрицы жесткости (4× 4).

Для конечного элемента b, также имеющего две степени свободы в узле (линейное вертикальное перемещение и угол поворота),

порядок матрицы, как и в предыдущем случае, (4 × 4).

Для конечного элемента c с тремя степенями свободы в узле (двумя линейными перемещениями по направлению осей координат и углом поворота) порядок матрицы жесткости (6 × 6). Заметим, что элемент c объединяет элементы a и b. Тем не менее все рассматриваемые конечные элементы имеют право на самостоятельное существование.

Конечный элемент d используется для расчета тонких плит. В каждом узле такого конечного элемента учитываются три степени свободы. Порядок матрицы жесткости элемента (12 × 2).

Последний конечный элемент e может быть использован для расчета массивных конструкций. В каждом узле такого элемента учитывается шесть степеней свободы.