Матрица жесткости шарнирно-стержневого конечного элемента

Следуя приведенному выше определению матрицы жесткости как таблицы реакций в узловых связях конечного элемента от последовательно задаваемых единичных перемещений, можно получить матрицу жесткости для некоторых простых конечных элементов, выполняя указанные действия непосредственно.

Рассмотрим шарнирно-стержневой конечный элемент, представленный на рисунке.

Если задать перемещение Z 1 = 1, то в стержне возникает усилие N = EF / l. Реакции в связях 1 и 3 r 11 = EF / l и r 31 = EF / l, а реакции r 21 == r 41 = 0. Задавая последовательно единичные узловые перемещения и вырезая узлы, получим из уравнений проекций на оси ОХ и OY для каждого из четырех единичных перемещений 16 значений реакций в связях конечного элемента. Записывая значения реакций в виде таблицы, получим матрицу жесткости шарнирно-стержневого конечного элемента.

Вторая и четвертая строки в матрице полностью нулевые. Такие значения реакций соответствуют вертикальным перемещениям узлов.

При выводе матрицы жесткости (2.1) единичные перемещения задавались по направлениям осей системы координат, совпадающих в с главными центральными осями инерции сечения конечного эле-

мента. Такая система координат называется в МКЭ локальной. Матрицы жесткости конечных элементов строятся, как правило, в локальной системе координат.

При помощи матрицы

(*)

можно определить усилия в сечениях конечного элемента, если известны перемещения его концов. Обычно расчетные сечения для определения усилий располагаются вблизи узлов конечного элемента (см. рис., сечения i и j). Для шарнирно стержневого конечного элемента матрица значений усилий в расчетных сечениях имеет вид

(**)

где Z – перемещения по направлению узловых связей конечного элемента.

Ni, Qi, Nj, Qj – продольные и поперечные силы в сечениях i и j соответственно.

Каждому усилию, вычисляемому по формуле (**), соответствует задаваемое при выводе матрицы (*) перемещение. Очевидно, что для рассматриваемого конечного элемента значения поперечных сил всегда будут нулевыми, поскольку матрица (*) содержит две нулевые строки, однако необходимо сохранять эту избыточную информацию в матрице жесткости и усилий, так как в общем случае матрица шарнирно-стержневого конечного элемента не содержит полностью нулевых строк.