Системы линейных уравнений. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид:

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид:

где a_ij – коэффициенты системы; b_i -– свободные члены.

Определитель третьего порядка , составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы. Если , то единственное решение данной системы выражается формулами Крамера:

где – определители третьего порядка, получаемые из определителя системы заменой столбцов коэффициентов при x₁, x₂, x₃ соответственно столбцом свободных членов b₁, b₂, b₃.

Приведенная система может быть записана в матричной форме

AX = B, или

Если определитель системы отличен от нуля, то решение системы в матричной форме имеет вид

X = A^-1B.

Если система линейных уравнений с n неизвестными совместна, а ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r < n, то система имеет бесчисленное множество решений. Свободные n – r неизвестных выбираются произвольно, а главные r неизвестных определяются единственным образом через свободные неизвестные.

Рассмотрим систему алгебраических уравнений (СЛАУ), содержащую m уравнений с n неизвестными.

(9)

Введем матрицу , которая называется матрицей системы (9), матрицу-столбец неизвестных и матрицу свободных членов . С помощью этих матриц систему (9) можно записать в матричном виде

. (9¢)

Пусть, в частности, m = n, тогда матрица системы (9) квадратная. Если она невырожденная, т.е. det A ¹ 0, то имеет обратную А ^–1. Умножим (9¢) слева на А ^–1, получим

(10)

Формула (10) дает решение системы. Этот метод называют матричным.

Метод Гаусса

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) – это универсальный метод. Он применим к любой СЛАУ, совместной или несовместной.

Считая а ₁₁ ¹ 0, разделим первое уравнение системы (9) на а ₁₁. В результате получим

(11)

где

Умножая уравнение (11) последовательно на а ₂₁, а ₃₁, …, а_{m 1} и третьего и т.д. m -го уравнений, мы исключим из последующих уравнений неизвестное х ₁.

Получим следующую систему

(12)

Аналогично в системе (12) исключим неизвестное х ₂ из третьего и последующих уравнений. Затем также поступим с неизвестным х ₃ и т.д.

В результате получим простейшую систему равносильную данной, которую легко решить или убедиться, что она противоречива, т.е. не имеет решения. Указанные операции удобнее производить не над уравнениями, а над строками расширенной матрицы системы, которая получается, если к матрице системы дописать столбец свободных членов.