Статистические методы обработки экспериментальных данных

Определение: Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой; в этом случае статистическую зависимость называют корелляционной.

Определение: Условным средним называют среднее арифметическое наблюдавшихся значений , соответствующих .

Например, если при величина приняла значения то условное среднее

Аналогично определяется условное среднее .

Определение: Условным средним называют среднее арифметическое наблюдавшихся значений , соответствующих .

Условное математическое ожидание является функцией от , следовательно, его оценка, т.е. условное среднее , также функция от ; обозначив эту функцию через , получим уравнение

.

Это уравнение называется выборочным уравнением регрессии на ; функцию называют выборочной регрессией на , а ее график – выборочной линией регрессии на . Аналогично уравнение

называют выборочным уравнением регрессии на ; функцию называют выборочной регрессией на ; а ее график – выборочной линией регрессии на .

Определение: Угловой коэффициент прямой линии регрессии на называют выборочным коэффициентом регрессии на и обозначают через ; он является оценкой коэффициента регрессии .

При большом числе наблюдений одно и то же значение может встретиться раз, одно и то же значение раз, одна и та же пара чисел может наблюдаться раз. Поэтому данные наблюдений группируют, т.е. подсчитывают частоты , , . Все сгруппированные данные записывают в виде таблицы, которую называют корреляционной.

Поясним устройство корреляционной таблицы на примере таблицы 1.

Таблица 1.

0, 4 0, 6 0, 8	–	–	–	–

В первой строке таблицы указаны наблюдаемые значения (10; 20; 30; 40) признака , а в первом столбце – наблюдаемые значения (0, 4; 0, 6; 0, 8) признака . На пересечении строк и столбцов находятся частоты наблюдаемых пар значений признаков. Например, частота 5 указывает, что пара чисел (10; 0, 4) наблюдалась 5 раз. Все частоты помещены в прямоугольнике, стороны которого проведены жирными отрезками. Черточка означает, что соответственная пара чисел, например (20; 0, 4), не наблюдалась.

В последнем столбце записаны суммы частот строк. Например, сумма частот первой строки «жирного» прямоугольника равна ; это число указывает, что значение признака , равное 0, 4 (в сочетании с различными значениями признака ), наблюдалось 26 раз.

В последней строке записаны суммы частот столбцов. Например, число 8 указывает, что значение признака , равное 10 (в сочетании с различными значениями признака ), наблюдалось 8 раз.

В клетке, расположенной в нижнем правом углу таблицы, помещена сумма всех частот (общее число всех наблюдений ). Очевидно, В нашем примере

и

Выборочный коэффициент корреляции

Выборочный коэффициент корреляции определяется равенством

где – варианты (наблюдавшиеся значения) признаков и ; - частота пары вариант ; – объем выборки (сумма всех частот); – выборочные средние квадратические отклонения; – выборочные средние.

Выборочный коэффициент корреляции является оценкой коэффициента корреляции генеральной совокупности и поэтому также служит для измерения линейной связи между величинами – количественными признаками и . Допустим, что выборочный коэффициент корреляции, найденный по выборке, оказался отличным от нуля. Так как выборка отобрана случайно, то отсюда еще нельзя заключить, что коэффициент корреляции генеральной совокупности также отличен от нуля. Возникает необходимость проверить гипотезу о значимости (существенности) выборочного коэффициента корреляции (или, то же, о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности). Если гипотеза о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции будет отвергнута, то выборочный коэффициент корреляции значим, а величины и коррелированны; если гипотеза принята, то выборочный коэффициент корреляции, незначим, а величины и не коррелированны.

Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции

Пусть требуется по данным корреляционной таблицы вычислить выборочный коэффициент корреляции. Можно значительно упростить расчет, если перейти к условным вариантам (при этом величина не изменится)

и

В этом случае выборочный коэффициент корреляции вычисляют по формуле

Величины , и можно найти методом произведений, а при малом числе данных – непосредственно исходя из определений этих величин. Остается указать способ вычисления , где – частота пары условных вариант .

Можно доказать, что справедливы формулы