Первичная обработка данных

Глава 9: Статистические оценки

Глава 10: Статистическая проверка гипотез

Основным критерием достоверности получаемых знаний является практика. Выдвинутые предположения (гипотезы) о тех или иных закономерностях случайных явлений также можно сопоставить с практическими данными.

Проверяемую гипотезу принято называть нулевой гипотезой (обозначение: Н ₀).

Наряду с нулевой гипотезой рассматривают альтернативную (конкурирующую) гипотезу Н ₁, которую принимают в случаях, когда отвергается нулевая гипотеза. Альтернативная гипотеза представляет собой некоторое отрицание нулевой гипотезы, во многих случаях может быть выбрана одна из нескольких альтернативных гипотез (на усмотрение исследователя).

Проверка гипотезы осуществляется посредством анализа некоторого выражения, называемого критерий (обозначение: К), значение которого вычисляется на основании полученных экспериментальных данных. Выражение для критерия выбирается в зависимости от проверяемой гипотезы. Т.к. критерий вычисляется на основании экспериментальных данных (которые случайные), то он является случайной величиной с некоторым распределением. Критерий выбирается таким образом, чтобы его закон распределения был известен, при условии справедливости проверяемой гипотезы. Как правило, распределение имеет вид некоторого «пика» с известным положением. Если проверяемая гипотеза ошибочна, то критерий будет иметь иной закон распределения (в первую очередь с иным положением «пика»).

В результате эксперимента критерий приобретает некоторое значение случайным образом. Множество значений критерия, которые он может принять при условии справедливости нулевой гипотезы называется областью принятия гипотезы. Множество же всех остальных значений – критической областью. Если критерий попадает в область принятия гипотезы, то принимается нулевая гипотеза, если его значение оказывается в критической области, то нулевая гипотеза отбрасывается как ошибочная и принимается альтернативная.

Т.к. в большинстве случаев критерий, при условии справедливости проверяемой гипотезы, может принимать любые значения (кроме «пика» имеются «хвосты распределения», уходящие в бесконечность), то рассмотренный выше метод при его формальном применении потребует принятия всех гипотез (даже ошибочных) в силу того, что наблюдаемые результаты эксперимента, в принципе, могут иметь место при условии справедливости предположения. Для реализации метода прибегают к следующему приёму.

Устанавливается уровень значимости , представляющий собой границу для вероятности невозможного события. Полагают, что все события, вероятности которых меньше уровня значимости, считаются практически невозможными. Уровень значимости позволяет ограничить область принятия гипотезы: если в результате эксперимента происходит практически невозможное событие (критерий принял значение из области, вероятность попадания в которую не превышает уровень значимости). Положение критической области, как и уровень значимости, исследователь может выбрать произвольно.

Если принята верная гипотеза или отвергнута ошибочная, то принято верное решение относительно проверяемой гипотезы. Однако в силу случайности критерия и с учётом введённых предположений в процессе анализа экспериментальных данных можно получить ошибку, принадлежащую к одной из следующих групп.

Ошибка I рода – отвергнута верная нулевая гипотеза. В силу того, что уровень значимости больше нуля, может произойти событие, которое считается невозможным (имеет маленькую вероятность). Вероятность допустить такую ошибку равна уровню значимости.

Ошибка II рода – принята ошибочная нулевая гипотеза. Вероятность такой ошибки можно вычислить, если известен закон распределения критерия при условии справедливости альтернативной гипотезы. Это вероятность того, что критерий (в силу случайности) примет значение, лежащее в области принятия гипотезы, при справедливости альтернативной. На эту вероятность влияет положение критической области. Наименьшее значение вероятность такой ошибки приобретает при расположении критической области в «хвостах распределения» (выделяют левостороннюю, правостороннюю и двухстороннюю критическую область). Какое расположение критической области выбрать определяется видом альтернативной гипотезы. Для оценки выбора критической области обычно используют не вероятность ошибки II рода, а мощность критерия (величину ) – вероятность отклонения ошибочной нулевой гипотезы.

Чем меньше и , тем меньше вероятность допустить ошибку при проверке гипотезы, поэтому в интересах исследователя уменьшать эти величины. Одновременно уменьшить обе этих величины до нуля не представляется возможным. Если 0 принять в качестве уровня значимости, то любая выдвинутая гипотеза будет принята (высока вероятность ошибки II рода). Если принять за 0 вероятность ошибки II рода, то мощность критерия станет равной 1, а это возможно только в том случае, если мы будем отвергать все выдвинутые гипотезы как ошибочные (критическая область заполнит всё множество значений критерия, уровень значимости равен 1). На практике обычно фиксируют , а затем минимизируют соответствующим выбором критической области.

Т.к. в силу случайности критерия можно сделать ошибочные выводы из результатов эксперимента, то вместо выводов «выдвинутая гипотеза верна» и «выдвинутая гипотеза ошибочна» используют следующие формулировки: «данный эксперимент позволяет утверждать справедливость выдвинутой гипотезы» и «данный эксперимент не позволяет принять выдвинутую гипотезу».

Примечание: научные факты принимают или отвергают на основании серий экспериментов, в каждом из которых гипотеза может быть принята или отвергнута. Если в преобладающем большинстве экспериментов подтверждает или отвергает гипотезу, то гипотеза принимается как верная или отклоняется соответственно.

й й

Приложения

Элементы комбинаторики