Основные определения. Матрицей размеров(читается m на n)называется числоваятаблица, имеющая m строк и n столбцов.

Матрицей размеров (читается m на n)называется числоваятаблица, имеющая m строк и n столбцов.

Матрицу сокращенно обозначают одной большой буквой латинского алфавита, например A. Чтобы подчеркнуть ее размеры, их будем записывать нижними индексами, например, матрицу А размеров запишем так: . Элементы матрицы обозначаются той же буквой латинского алфавита, что и сама матрица, но малой, и снабжаются двумя нижними индексами, первый из которых обозначает номер строки, а второй – номер столбца. Так, обозначает элемент матрицы А, расположенный в i -й строке j -м столбце. Но запись (т. е. в круглых скобках) – это сокращенная запись всей матрицы А, т. е. (читать можно так: матрица А с элементами ).

Если нужно указать размеры матрицы, это можно сделать, например, таким образом: = , либо так: (читается: i меняется от 1 до m, j меняется от 1 до n).

В развернутом виде матрица записывается, согласно определению, как числовая таблица, при этом с обеих сторон она ограничивается либо круглыми скобками, либо квадратными, либо двумя вертикальными чертами, например:

.

Матрица А имеет размеры , B – , a C – .

Матрица называется нулевой и обозначается O, если все ее элементы равны нулю. Для каждых размеров есть своя нулевая матрица.

Если m = n, то матрица называется квадратной, а число n называется ее порядком (говорят: квадратная матрица А n -го порядка). Элементы квадратной матрицы образуют ее главную диагональ и называются диагональными.

Если в квадратной матрице все недиагональные элементы равны нулю ( при ), а отличными от нуля могут быть только диагональные элементы (среди них могут быть и нули), то такая матрица называется диагональной. Примером диагональной является квадратная нулевая матрица. Среди диагональных матриц выделяют матрицу Е, все диагональные элементы которой равны 1, и называют эту матрицу единичной, так как во множестве матриц она играет такую же роль, как и единица во множестве чисел. Единичная матрица выглядит так:

.

Если обозначить элементы единичной матрицы , то

.

Символ δ, снабжённый двумя индексами, верхними или нижними , равный 1, когда индексы совпадают, и 0, когда они разные, широко применяется как в математике, так и в физике, и называется символом Кронекера. Таким образом, элементы единичной матрицы совпадают с соответствующими символами Кронекера.

Квадратная матрица называется верхней треугольной, если при , нижней треугольной, если при . Неквадратная матрица при n > m называется трапециевидной, если при i > j. Например, А – верхняя треугольная, В – нижняя треугольная, С – трапециевидная матрицы:

;

Матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы совпадают.