Определение определителя квадратной матрицы

Каждой квадратной матрице поставим в соответствие число, которое назовем ее определителем или детерминантом и будем обозначать , следующим образом:

а) если , то (определитель матрицы, состоящей из одного элемента, равен этому элементу);

б) если , то

;

в) если известно, как найти определитель матрицы -го порядка, то определитель матрицы -го порядка задается так:

(1.10)

где − определитель матрицы -го порядка, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и -го столбца.

Определитель квадратной матрицы n -го порядка будем просто называть определителем n -го порядка.

В развернутом виде определитель n -го порядка записывается как таблица, ограниченная с обеих сторон вертикальными чертами (по одной с каждой стороны):

Приведенное выше определение является определением по индукции или определением с помощью разложения по первой строке.

Пусть А – некоторая матрица, не обязательно квадратная. Выделим в ней k строк и k столбцов. Элементы, расположенные на пересечениях выделенных строк и столбцов, образуют определитель k -гo порядка, который называется минором k -гo порядка матрицы А (или определителя) и обозначается

, (1.11)

где – номера выделенных строк, – номера выделенных столбцов.

Если А – квадратная матрица n -го порядка (или определитель), то элементы, оставшиеся после вычеркивания выделенных строк и столбцов, также образуют определитель порядка n – k. Его называют минором, дополнительным к минору (1.11), и обозначают . Алгебраическим дополнением к минору (1.11) называется число

.

Очевидно, алгебраическое дополнение к некоторому минору от дополнительного минора может отличаться разве что знаком. Например, если

,

то

Каждый элемент матрицы А (или определителя) является ее минором первого порядка, и поэтому для него определяется как дополнительный минор, так и алгебраическое дополнение. В алгебраическом дополнении к одному элементу оба индекса станем писать снизу, считая, как обычно, первый индекс номером вычеркиваемой строки, а второй – столбца.

Используя введенные обозначения, равенство (1.10) можно записать так:

Таким образом, согласно определению, определитель равен сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения.