Свойства обратных матриц

1°. Если матрица А имеет обратную, то А ^–1 тоже имеет обратную, причем (А ^–1)^–1 = А.

2°. Если матрица А имеет обратную и , то матрица α А также имеет обратную, причем (α А)^–1 = (1/α) А ^–1.

3°. Если матрица А имеет обратную, то также имеет обратную, причем .

4°. Если матрицы А и В одного порядка и имеют обратные, то имеет обратную и их произведение, причем (АВ)^–1 = В ^–1 А ^–1.

► Докажем 1-е и 4-е свойства.

Обозначим В = А ^–1 и покажем, что А является обратной к В. Для этого проверим выполнение равенства (1.18): ВА = А ^–1 А = Е; АВ = АА ^–1 = Е.

Теперь покажем, что В ^–1 А ^–1 является обратной к С = АВ:

С (В ^–1 А ^–1) = (АВ)(В ^–1 А ^–1) = А (ВВ ^–1) А ^–1 = АЕА ^–1 = АА ^–1 = Е;

(В ^–1 А^{– 1}) С = (В ^–1 А ^–1 )(АВ) = В ^–1(А ^–1 А) В = В ^–1 В = Е

(везде используется ассоциативность произведения матриц).◄

Остальные свойства вы без труда докажете самостоятельно.

Лемма 1.6 (необходимое условие существования обратной). Если квадратная матрица А имеет обратную, то А – невырожденная матрица.

► На основании свойства 8° § 6 из (1.18) вытекает:

,

значит, . ◄

Теорема 1.6 (существования и единственности). Для любой невырожденной квадратной матрицы А существует единственная ей обратная

где – алгебраическое дополнение к элементу матрицы .

► Существование. Пусть . Покажем, что записанная матрица действительно обратная к А. Обозначим – элементы матрицы , , а обозначим матрицу . Тогда

= [теорема аннулирования для строк] = .

Таким образом, . Аналогично доказывается, что , значит, приведенная выше матрица удовлетворяет определению обратной к А.

Единственность. Предположим, что некоторая невырожденная квадратная матрица А имеет две разные обратные матрицы: и . Тогда

.◄

Замечание. Мы не только доказали для невырожденной матрицы существование обратной, но даже показали, какая конкретно матрица является обратной данной. Такое доказательство называется конструктивным.