Перестановкой множества

(1.14)

будем, как обычно, называть любое упорядоченное множество из этих элементов. Так, например, (2, 1, 3) – одна из перестановок множества {1, 2, 3}. Пусть

– (1.15)

некоторая перестановка множества (1.14). Меняя местами какие-либо пары элементов, любую перестановку (1.15) после конечного числа шагов можно привести к стандартной перестановке

.

Так, чтобы привести перестановку (2, 4, 1, 3) к стандартной, требуется три перемены (их еще называют инверсиями): (2, 4, 1, 3) → (1, 4, 2, 3) → (1, 2, 4, 3) → (1, 2, 3, 4).

Обозначим через число перемен, которое необходимо проделать, чтобы перестановку (1.15) привести к стандартному виду. Перестановка (1.15) называется четной, если – четное число, и нечетной в противном случае.

Введем в рассмотрение числа

и назовем их символами Леви – Чивита. Для удобства записи некоторых формул символы Леви – Чивита определим и при одинаковых значениях индексов, считая их в этом случае равными нулю.

Теорема 1.5. Пусть А – квадратная матрица -го порядка. Тогда

(1.16)

(в правой части равенства (1.16) сумма берется по всем перестановкам множества (1.14)).

Проверим справедливость утверждения для определителя третьего порядка:

=

.

Для определителей n -го порядка утверждение доказывается методом математической индукции.

Рассмотрим пространство свободных векторов. Положим для единообразия

, (1.17)

выберем три произвольных вектора и каждый из них разложим по базису (1.17):

.

Тогда

, .