Геометрический и механический смысл производной

Возьмём произвольную точку A, в которой мы хотим провести касательную к графику функции. И возьмём недалеко от точки A точку B, которая также принадлежит графику функции. Прямая AB будет секущей к графику функции. Начнём двигать точку B по графику функции к точке A. Как только точка B совпадёт с точкой A секущая AB превратится в касательную к графику функции в точке A. То есть касательная в точке A – это предельное положение секущей AB при . При этом все рассматриваемые секущие и касательная проходят через точку A. Значит, при угол наклона секущей к оси в пределе стремится к углу наклона касательной к оси . Запишем полученный результат более строго. По определению производная – это отношение приращения функции к приращению аргумента при малом приращении аргумента.

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции, вычисленной в точке касания, т.е.

Уравнение касательной к графику функции в точке :

Уравнение нормали к графику функции в точке :

Пример 1. Найти угол, образованный касательной к кривой в точке с осью абсцисс.

Решение. Пусть искомый угол . Согласно геометрическому смыслу производной:

Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в ее точке с абсциссой