Способы оценки погрешности решения.

Точность. Обозначим через y точное решение задачи, y_k – ее приближенное значение, полученное на k -м шаге численного метода. Тогда

составляет погрешность решения, а

является абсолютной погрешностью.

Вычислительный алгоритм должен давать решение с заданной точностью и, следовательно, критерием завершения процесса уточнения решения является выполнение неравенства

.

На практике в силу трудностей вычисления абсолютной погрешности вместо D используют ее оценку сверху – предельную абсолютную погрешность Δ _y. В качестве Δ _y выбирают как можно меньшее значение, удовлетворяющее неравенству

,

а критерием завершения процесса в этом случае является неравенство

.

Часто используют относительную погрешность

т. е. абсолютную погрешность на единицу измерения, и предельную относительную погрешность

.

Критерий завершения процесса в этом случае имеет вид

,

где – заданная допустимая относительная ошибка.

Рассмотрим в качестве примера, как может быть построена оценка предельной абсолютной погрешности вычисления значений функции

,

если известны абсолютные погрешности ее аргументов.

Ошибка имеет вид

.

Тогда

,

и в качестве предельной относительной погрешности можно использовать величину

.

Пусть решением задачи является вектор

,

который будем рассматривать как элемент векторного пространства . Приближенное решение

и его погрешность

также являются элементами этого пространства. Рассмотрим, как оцениваются ошибки решения в этом случае. Для этого используем количественную характеристику вектора в виде нормы.

Говорят, что в задана норма, если каждому вектору из сопоставляется вещественное число , называемое нормой вектора , для которого справедливы следующие свойства:

1. , причем тогда и только тогда, когда ,

2. для любого вектора и любого числа a,

3. для любых векторов и .

В вычислительных методах наиболее употребительны следующие нормы:

.

Абсолютную и относительную погрешность вектора в любой из перечисленных выше норм можно определить следующим образом:

.

Имеет смысл говорить об абсолютной и относительной погрешности (m´ n)- матрицы решений A. В этом случае используется такая характеристика, как норма матрицы, согласованная с нормой вектора. Для нормы матрицы A, обозначаемой , справедливы следующие свойства:

1. , причем тогда и только тогда, когда ,

2. для любой матрицы A и любого числа a,

3. для любых (m´ n)-матриц и .

Каждой из векторных норм соответствует своя согласованная норма матриц. В частности, нормам соответствуют нормы , вычисляемые по правилам

где l_j( A ^T A ) – собственные числа матрицы A ^T A.

Абсолютная и относительная погрешности матрицы решений вычисляются через соответствующие нормы:

,

причем – искомая матрица решений, – ее некоторое приближение.

? 3. СЛАУ. Метод Гаусса и оценка его эффективности.