Теорема о сходимости и точности метода Ньютона.

Теорема. Если уравнение имеет один корень , функции и – знакопостоянны на этом отрезке, начальное приближение выбрано из условия

Тогда последовательность , построенная по методу Ньютона, сходится к точному решению , когда , при этом справедлива следующая оценка погрешности:

,

где .

Доказательство. Докажем сходимость. Для этого представим:

.

Разложим функцию в окрестности точки в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

,

где .

Будем полагать, что и . В этом случае

,

так как . Следовательно,

,

или

.

Таким образом, и числовая последовательность ограничена снизу.

Покажем, что последовательность является монотонно убы-

вающей. Отметим, что невязка для всех . Это следует из предположения и правила выбора в соответствии с условием теоремы начального приближения. В этом случае

,

или

.

Таким образом, , а последовательность является моно-тонно убывающей. Поскольку монотонно убывающая последователь-ность ограничена снизу, то она является сходящейся.

Сходимость метода Ньютона при других вариантах знакопо-стоянства функций и доказывается аналогично.

Получим оценку погрешности. Из леммы

.

Вычислим :

Учтем, что . Следовательно,

и

.

Теорема полностью доказана.

Замечание. Величина является оценкой предельной абсолютной погрешности метода Ньютона. Она привлекается при построении критерия завершения итерационного процесса.