Метод итераций для системы уравнений.

Пусть необходимо найти решение системы уравнений

Применение метода итераций требует приведения этой системы к виду:

В общем случае это можно сделать так же, как и для одного уравнения:

.

Отсюда

,

где

.

Параметр здесь также выбирается из условия сходимости метода.

Метод итераций для системы уравнений приобретает вид

Запишем метод итераций в векторном виде. Обозначим

φ

Тогда

.

Рассмотрим, как ведет себя погрешность на итерациях метода. Обозначим через ε вектор погрешности. Очевидно, что

,

где – вектор точного решения. Следовательно,

.

Разложим правую часть равенства в ряд Тейлора и сохраним в разложении первые два члена:

Получим

.

В этом соотношении

.

Пусть – неособенная матрица, которая преобразованием подобия приводит матрицу к диагональному виду:

,

или

,

где – собственные числа матрицы . Тогда

.

Введем новую переменную . Для нее

.

В компонентном виде имеем:

.

Если , то погрешность . Так как , то и . Таким образом, условие сходимости метода итераций для системы уравнений имеет вид

,

где λ _i – собственные числа матрицы A.

Замечание. Обозначим собственные числа матрицы через . Так как , то и условие сходимости метода итераций примет вид

.

Предположим, что все собственные значения матрицы имеют одинаковый знак, например . В этом случае значения параметра , которые обеспечивают сходимость метода итераций, лежат в интервале

,

где – наибольшее собственное значение матрицы .

9. Уравнение f(x)=0. Метод Ньютона. Теорема о сходимости и точности.