![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Г л а в а 3. Взаимодействие атомных структур с электромагнитными полями
3.1. Полуклассическая теория Бора
Исследование взаимодействия электромагнитного излучения с атомами началось с регистрации спектров атома водорода. В результате обобщения экспериментальных данных в 1885 году было получено простое соотношение, с высокой степенью точности описывающее измеренные к тому времени значения длин волн
где Формула Бальмера (3.1) стала важным экспериментальным основанием для построения теории атома водорода и установления основных закономерностей взаимодействия электромагнитного излучения с атомами. Однако, создание соответствующей теории натолкнулось на непреодолимые в рамках классической физики трудности. После проведения Резерфордом своих знаменитых опытов по рассеянию альфа-частиц (1911 г.) в теории атома господствовала планетарная модель. Согласно этой модели атом состоит из тяжелого положительно заряженного ядра, расположенного в центре, и отрицательно заряженных электронов, вращающихся вокруг ядра. Классическая электродинамика предсказывала, что в таком случае ускоренно двигающиеся электроны должны излучать электромагнитные волны, терять энергию и в конечном счете упасть на ядро. Таким образом, классическая физика не только была не в состоянии объяснить экспериментальную формулу (3.1), но и само существование стабильных атомов с ее точки зрения оказывалось невозможным. Чтобы преодолеть указанные трудности, Н. Бор в 1913 году построил свою теорию атома водорода (атом Бора), основываясь на трех сформулированных им постулатах.
Стоит отметить, что в условие квантования момента количества движения (3.2) вошла постоянная Планка, использовавшаяся впервые для квантования энергии радиационного осциллятора. Постулаты Бора так же, как и квантование энергии осциллятора в теории теплового излучения, являлись чужеродной вставкой, противоречащей мировоззренческим основам классической физики. Тем не менее так же, как и в случае теплового излучения, положения, введенные в теорию исключительно для согласования с опытом, не только позволили объяснить имеющиеся к тому времени экспериментальные данные, но и стали своего рода «зародышем» новой квантовой физики. Для определения энергии электрона в атоме Бора, помимо условия квантования момента количества движения (3.2), используется второй закон Ньютона для движения электрона по круговой орбите под действием кулоновской силы притяжения к ядру. В результате получается следующая система алгебраических уравнений:
где Система уравнений (3.4) – (3.5) отражает эклектичность теории атома Бора: уравнение (3.4) является квантовым условием и содержит постоянную Планка Решение системы (3.4) – (3.5) имеет вид
В формуле (3.6) для скорости электрона на n -й орбите введена постоянная тонкой структуры Величины
Система единиц Хартри широко используется в атомных расчетах. Она позволяет существенно упростить аналитические вычисления, поскольку в этой системе не выписываются константы
Обратная к атомной единице времени величина Используя полученные выражения (3.6) и (3.7), можно найти кинетическую, потенциальную и полную энергии электрона на n -й атомной орбите:
Правые части в формулах (3.10) – (3.12) представляют собой выражения для энергии атомного электрона на n- й орбите через энергию покоя электрона и постоянную тонкой структуры. Такая запись явно демонстрирует малость энергии электромагнитного взаимодействия, которая определяется квадратом малой константы
представляющее собой известную из классической механики теорему вириала для системы с потенциальной энергией, обратно пропорциональной расстоянию между частицами. Единица измерения энергии в системе атомных единиц равна
Здесь введена внесистемная единица энергии – электронвольт, величина которой соответствует атомному масштабу энергий:
В этих единицах выражение для энергии электрона на n -й орбите атома Бора принимает особенно простой вид:
Отметим, что целое неотрицательное число n, фигурирующее в равенстве (3.16), отвечает главному квантовому числу электронного состояния в последовательной квантовой теории атома водорода. Формула (3.16) описывает дискретный спектр энергий электрона в водородоподобном атоме. Отрицательность полной энергии в дискретном спектре с точки зрения классической механики отвечает финитности движения электрона, а на квантово-механическом языке – связанности состояния. Наряду с дискретным спектром атомный электрон обладает непрерывным спектром, которому соответствуют положительные значения энергии. В непрерывном спектре движение электрона инфинитно, соответствующие состояния называются свободными. Нулевое значение энергии электрона является границей дискретного и непрерывного спектров. Энергия Из формул (3.3) и (3.16) находим для частот излучения водородоподобного иона следующее выражение:
Переписывая (3.17) через длины волн, получаем
Сравнивая равенство (3.18) для атома водорода (
Легко проверить, используя численные значения констант, что равенство (3.19) действительно выполняется. Таким образом, теория атома Бора воспроизводит экспериментальную формулу Бальмера (3.1) для длин волн излучения атома водорода. Это явилось крупным успехом данной теории и, что особенно важно, подтвердило необходимость введения квантовых представлений не только в теорию излучения, но и в микротеорию вещества. Отметим, что с формальной точки зрения вместо условия квантования момента количества движения (3.2) предпочтительнее пользоваться равенством (3.4), которое может быть получено как условие на де-бройлевскую длину волны атомного электрона на n -й орбите:
Легко проверить, что (3.20) сводится к (3.4), если воспользоваться определением де-бройлевской длины волны электрона:
Равенство (3.20) отвечает условию на длину волны незатухающего колебания на окружности, соответствующей n -й орбите атома Бора. Дело в том, что на самом деле уравнение (3.2) никогда не выполняется точно. В реальных атомах величина момента количества движения удовлетворяет неравенству Теория Бора оказалась неприменимой к атомам, содержащим более чем один электрон. Кроме того, даже в случае водородоподобного иона теория Бора предсказывает только длины волн излучения, но не интенсивности и поляризации. Она, однако, сыграла важную роль в истории квантовой физики, поскольку послужила отправной точкой для развития последовательной квантово-механической теории. Чтобы отметить данную преемственность, теорию атома Бора называют иногда старой квантовой теорией. Теорию Бора можно также назвать полуклассической, поскольку система ее основных уравнений (3.4) – (3.5), как уже отмечалось выше, содержит как квантовое (3.4), так и классическое (3.5) уравнения.
3.2. Принцип соответствия между классической и квантовой физикой
Важно подчеркнуть, что теория Бора является не только теорией атома водорода, но и теорией взаимодействия электромагнитного излучения с атомом, т.к. важные черты этого взаимодействия описываются 2-м и 3-м постулатами Бора. Дальнейшее развитие теории взаимодействия излучения с атомами может быть осуществлено не прибегая к последовательному квантово-электродинамическому формализму, а используя так называемый принцип соответствия в духе полуклассического подхода Бора. Отправной точкой такого рассмотрения является выражение для мощности дипольного излучения, известное из классической электродинамики. Оно имеет вид
где
– дипольный момент частицы с зарядом
где а – размер области пространства, ответственной за излучение, Вторая производная по времени от дипольного момента, фигурирующая в правой части равенства (3.22), элементарно выражается через ускорение электрона
Таким образом, в рамках классической физики ускоренно движущаяся заряженная частица будет терять свою энергию на дипольное излучение со скоростью, определяемой формулой (3.25). Заметим, что потеря энергии зарядом, находящимся в кулоновском поле, приводит не к уменьшению, а к увеличению его кинетической энергии. Это видно и из квантовых формул (3.10) – (3.12). Увеличение кинетической энергии заряда сопровождается в два раза большим уменьшением его потенциальной энергии (см. формулу (3.13)), что связано с уменьшением расстояния до центра кулоновского поля. В результате полная энергия электрона уменьшается. В случае периодического движения заряда с круговой частотой
где
– n -я гармоника разложения в ряд Фурье функции Пользуясь равенством (3.26), в котором положено
где
С учетом того, что
из формулы (3.29) находим
Формула (3.31) описывает мощность дипольного излучения на частоте n -й гармоники
Здесь мы переобозначили 1-ю фурье-гармонику дипольного момента: Заменим теперь в формуле (3.32) фурье-гармонику дипольного момента на его матричный элемент, вычисленный между состояниями
а частоту периодического движения
В результате вместо формулы (3.32) получим
Величина (3.35) может быть названа мощностью электромагнитного излучения при переходе атомного электрона из стационарного состояния Если теперь мощность излучения (3.35) разделить на энергию рассматриваемого перехода
В последнем равенстве формулы (3.36) введено время жизни Таким образом, использование формулы классической электродинамики (3.22) и замен (3.33)–(3.34) позволили получить квантовый результат для мощности излучения спектральных линий (3.35) и вероятности спонтанного излучения (3.36). Это обстоятельство является отражением принципа соответствия между классической и квантовой физикой. Данный принцип может быть сформулирован следующим образом. Квантово-механические выражения получаются из классических, если в последних фурье-компоненты физических величин заменить на матричные элементы этих величин. Причем частота квантового перехода должна совпадать с частотой фурье-компоненты. Любопытно отметить, что наличие конечного времени жизни возбужденного состояния Чтобы выяснить физическое обоснование 2-го постулата Бора, введем классический период вращения электрона на
При записи формулы (3.37) были использованы выражения (3.6), (3.7) и (3.9). Оценим теперь отношение периода (3.37) ко времени жизни
где Из полученного соотношения (3.38) следует, что период обращения электрона по классической орбите на несколько порядков величины меньше времени жизни в данном состоянии
3.3. Сила осциллятора атомного перехода
Принцип соответствия между классической и квантовой физикой, конкретизированный для случая излучательных переходов в атоме, называется спектроскопическим принципом соответствия. Его можно сформулировать следующим образом: атом при взаимодействии с электромагнитным полем ведет себя как набор классических осцилляторов, обладающих собственными частотами, равными частотам переходов между атомными уровнями энергии. Это значит, что каждому переходу между атомными состояниями
где Формулировка принципа соответствия с силой осциллятора в форме (3.39) отвечает дипольному приближению, критерий которого дается неравенством (3.24). В противном случае определение (3.39) должно быть обобщено, чтобы включить в себя недипольную часть взаимодействия электромагнитного излучения с атомными электронами. Кроме того, недипольность взаимодействия оказывается существенной, если матричный элемент дипольного момента в формуле (3.39) равен нулю. Такие переходы называются дипольно-запрещенными в противоположность дипольно-разрешенным переходам, когда В терминах приведенной классификации состояний правила отбора для дипольного излучения водородоподобного иона сводятся к следующему. Разрешенными являются переходы, для которых орбитальное квантовое число изменяется на единицу: Помимо электронных переходов в дискретном спектре (связанно-связанные переходы), имеют место также переходы из связанных состояний в состояния непрерывного спектра (связанно-свободные переходы), для которых тоже вводится понятие силы осциллятора по формуле, аналогичной (3.39). Физически связанно-свободному переходу соответствует ионизация атома. В отличие от случая связанно-связанного перехода, сила осциллятора для связанно-свободного перехода в состояние с энергией Силы осцилляторов связанно-связанных и связанно-свободных переходов в атоме удовлетворяют так называемому золотому правилу сумм, которое для переходов из основного состояния выражается равенством
где Cилы осцилляторов для ряда электронных переходов в атоме водорода приведены в таблице 3.1. Из этой таблицы вытекают следующие закономерности. Во-первых, для переходов с увеличением энергии сила осциллятора больше в случае увеличения орбитального квантового числа, т.е. переход
Т а б л и ц а 3.1
|