Г л а в а 7. Метаматериалы

7.1. Отрицательное преломление

Метаматериалами, или, точнее, электромагнитными метаматериалами, называются вещества, обнаруживающие необычные электромагнитные свойства. Греческая приставка «meta» означает выход за границу чего-либо. Таким образом, метаматериал – это вещество или искусственная структура, электромагнитные свойства которой выходят за рамки обычных представлений. Сам термин метаматериалы был предложен руководителем Центра электромагнитных материалов и устройств в Остине (штат Техас, США) Роджером Уолсером в 2000 году.

Примером метаматериала является изотропная среда с отрицательным показателем преломления. Такое вещество иногда называют средой Веселаго по фамилии отечественного физика В. Г. Веселаго, исследовавшего электромагнитные свойства данной среды [12]. Рассмотрим простейший случай преломления света на плоской границе раздела двух сред. Пусть угол падения электромагнитной волны равен j, а угол преломления равен y (рис. 7.1). Связь между этими углами дается известным законом Снеллиуса:

, (7.1)

где – коэффициенты преломления сред. В случае обычных прозрачных материалов их показатели преломления являются положительными величинами . Тогда преломленный луч (4) отклоняется по другую сторону от нормали к границе раздела по сравнению с падающим лучом (1), как это видно из рис. 7.1. Если же показатель преломления первой среды положителен, а второй среды отрицателен, то преломленный луч отклоняется в ту же сторону от нормали, что и падающий луч. Это соответствует изменению знака угла преломления, вытекающему из равенства (7.1), если показатели преломления сред имеют разные знаки.

Рис. 7.1. Преломление и отражение света на границе раздела двух сред: лучи 1–4 – обычное преломление, лучи 1–3 – отрицательное преломление, лучи 1–2 – отражение

Преломление электромагнитной волны, изображенное на рис. 7.1 лучами 1–3, называется отрицательным преломлением или аномальной рефракцией.

Исторически впервые эффект отрицательного преломления электромагнитного излучения был рассмотрен советским физиком Л. И. Мандельштамом в 40-х годах XX века в одной из лекций, где был представлен ход преломленного луча в среде с .

Отрицательное преломление используется в простом оптическом устройстве, предложенном отечественным физиком В. Г. Веселаго и получившем название «линза Веселаго». Схематическое изображение линзы Веселаго представлено на рис. 7.2. Это устройство является плоскопараллельной пластиной, приготовленной из материала с отрицательным преломлением.

Рис. 7.2. Линза Веселаго

Если слева от пластины расположить источник света А на расстоянии, меньшем толщины пластины Am < mn, то лучи от этого источника сойдутся справа от пластины в точке В. В этом легко убедиться с помощью простого геометрического построения и с учетом того, что при пересечении границ раздела cd и fg преломленные лучи отклоняются к оси АВ. Указанное построение выполнено на рис. 7.2 для случая, когда плоскопараллельная пластина с показателем преломления помещена в вакуум – , причем выполняется неравенство Am < mn. Видно, что в этом случае геометрическая длина, пройденная лучом света от источника А в точку В по любому пути, вне пластины равна длине пути, пройденному светом в пластине:

, , (7.2)

Поскольку в рассматриваемом случае , то из равенств (7.2) следует, что оптическая длина пути, пройденная светом из точки А в точку В, равна нулю. Напомним, что оптическая длина пути равна интегралу , где – показатель преломления вещества, – дифференциал геометрической длины пути. Поскольку оптическая длина пути в рассматриваемом случае равна нулю для любой траектории распространения света, отвечающей закону Снеллиуса (7.1), то автоматически выполняется принцип Ферма, который формулируется в виде и гласит, что свет распространяется по траекториям, на которых оптическая длина пути имеет экстремум.

Таким образом, с помощью линзы Веселаго можно получать изображение предметов, расположенных на расстоянии, меньшем толщины линзы, но нельзя получить изображение источника на большем расстоянии. В частности, линза Веселаго не фокусирует в точку плоскопараллельный пучок света и поэтому не является линзой в строгом смысле этого слова. Тем не менее данное оптическое устройство позволяет получить идеальное изображение предмета в том смысле, что точечный предмет оно переводит в точечное изображение. Это характеристическое свойство линзы Веселаго связано с тем, что в основе формирования изображения лежит отрицательное преломление электромагнитного излучения, а не его дифракция.

7.2. Электромагнитные процессы в «левой» среде

Отрицательный показатель преломления возникает в случае, когда диэлектрическая (e) и магнитная (m) проницаемости вещества одновременно имеют отрицательные значения: e < 0, m < 0. Коэффициент преломления среды дается формулой

. (7.3)

Это соотношение получается из закона дисперсии поперечных волн в веществе (аналогично выводу формулы (4.45)), если в уравнениях Максвелла (4.30), (4.32) учесть магнитные свойства среды и напряженность макроскопического магнитного поля заменить на индукцию магнитного поля .

Ясно, что в случае отрицательности обоих сомножителей в подкоренном выражении в правой части равенства (7.3) коэффициент преломления остается действительной величиной, что отвечает прозрачной среде. Однако не очевидно, что тогда он имеет отрицательное значение . Чтобы выяснить данный вопрос и установить другие характеристические особенности сред с отрицательным преломлением, обратимся к уравнениям Максвелла, связывающим напряженности и индукции макроскопического электромагнитного поля с учетом магнитных свойств среды. В дифференциальной форме для прозрачного вещества эти уравнения имеют вид

, (7.4)

. (7.5)

В случае плоской монохроматической волны, когда пространственно-временная зависимость электромагнитного поля описывается мнимой экспонентой , дифференциальные уравнения (7.4) – (7.5) преобразуются в алгебраические:

, (7.6)

. (7.7)

В равенствах (7.6) – (7.7) составляющие электромагнитного поля являются функциями частоты и волнового вектора, квадратные скобки означают векторное произведение. Индукции и напряженности электрического и магнитного полей в случае изотропной среды, которую мы будем предполагать в дальнейшем, связаны материальными соотношениями:

, (7.8)

, (7.9)

где и – диэлектрическая и магнитная проницаемость среды.

Отметим, что в отличие от немагнитного приближения, рассмотренного в 4 главе, в настоящем разделе предполагается, что .

Подставляя формулы (7.8) – (7.9) в (7.6) – (7.7), находим

, (7.10)

. (7.11)

Из полученных уравнений (7.10) и (7.11) следует, что в случае обычной прозрачной среды, когда и , векторы , и образуют правую тройку. Это означает, что поворот от первого вектора ко второму, если смотреть со стороны третьего вектора, осуществляется против часовой стрелки. Такая среда называется правой. В случае одновременной отрицательности проницаемостей (, ) векторы , и образуют левую тройку, соответствующая среда называется левой. По терминологии, предложенной В. Г. Веселаго в его классической статье в УФН 1967 года [12], правая среда обладает положительной «правизной» (), а левая среда обладает отрицательной «правизной» (). Правизна среды равняется определителю матрицы, составленной из направляющих косинусов векторов , и (в заданном порядке).

Взаимные ориентации векторов напряженностей электрического и магнитного полей и волнового вектора плоской монохроматической волны для случая правой и левой сред показаны на рис. 7.3.

Волновой вектор плоской электромагнитной волны определяет пространственное изменение ее фазы. Направление распространения энергии электромагнитного поля определяется вектором Пойтинга, который равен

. (7.12)

Рис. 7.3. Взаимная ориентация векторов напряженностей электрического и магнитного полей и волнового вектора плоской электромагнитной волны в правой среде (a) и в левой среде (b)

Из этой формулы следует, что векторы , и образуют правую тройку независимо от знаков диэлектрической и магнитной восприимчивости вещества. Отсюда вытекает, что в правой среде направление векторов и совпадает, а в левой среде эти векторы антипараллельны. Поскольку волновой вектор коллинеарен фазовой скорости излучения, а вектор Пойтинга коллинеарен групповой скорости, то в левой среде эти скорости оказываются антипараллельными. Таким образом, в левой среде фаза и энергия плоской электромагнитной волны распространяются в противоположных направлениях. В этой связи укажем, что стрелки лучей, изображенных на рис. 7.1, указывают направление распространения энергии. Что касается направления увеличения фазы, то для левой среды направление стрелки луча 3 нужно изменить на противоположное.

В квантовой теории электромагнитного поля волновой вектор электромагнитной волны связан с импульсом фотона соотношением . Поэтому направление распространения энергии фотона и его импульс в левой среде направлены в противоположные стороны. Отсюда вытекает возможность «светового притяжения» в левой среде вместо известного светового давления, имеющего место в обычных (правых) средах.

Рассмотрим теперь преломление плоской монохроматической волны при пересечении границы раздела сред с различными восприимчивостями. Из уравнений Максвелла (7.4) – (7.5) следует непрерывность тангенциальных составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей при переходе излучения из одной среды в другую:

, . (7.13)

Отсюда, в частности, следует, что тангенциальные составляющие полей не изменяют своего направления при переходе излучения между средами с одинаковой и с различной «правизной». Из уравнений Максвелла для индукций электрического и магнитного полей следует непрерывность нормальных составляющих индукции при переходе из одной среды в другую:

, . (7.14)

Равенства (7.14) говорят о том, что при переходе электромагнитного излучения между средами с различной правизной, помимо изменения модуля, знак нормальной компоненты напряженности электрического и магнитного полей меняется на противоположный.

Таким образом, при преломлении света на границе раздела сред с различной правизной напряженности полей изменяются по величине и зеркально отражаются относительно границы раздела сред, как это следует из равенств (7.13) – (7.14).

Зеркальному отражению векторов напряженностей электрического и магнитного полей относительно границы раздела сред при изменении правизны вещества отвечает зеркальное отражение волнового вектора во второй среде относительно нормали к границе раздела, как это показано на рис. 7.4 для случая поляризации электромагнитной волны в плоскости падения на примере напряженности электрического поля. Аналогичное отражение справедливо и для магнитного поля. Необходимость такого отражения вытекает из поперечности электромагнитного поля электромагнитной волны, способной распространяться и в вакууме. Нештрихованные величины (рис. 7.4) отвечают второй среде с той же правизной, что и первая среда, штрихованные величины соответствуют изменению правизны вещества при переходе из одной среды в другую.

Изменение волнового вектора , показанное на рис. 7.4, соответствует изменению направления преломленного луча 4 ® 3 (рис. 7.1) при переходе от обычной среды к среде с отрицательным показателем преломления. Напомним, что изменение хода преломленного луча 4 ® 3 согласуется с законом Снеллиуса (7.1).

Рис. 7.4. Зеркальное отражение напряженности электрического поля и волнового вектора электромагнитной волны при переходе к среде с другой правизной в случае поляризации электромагнитной волны в плоскости падения

Таким образом, одновременная замена знака у диэлектрической и магнитной проницаемостей вещества с плюса на минус действительно отвечает изменению знака показателя преломления с плюса на минус. С использованием параметра правизны первой и второй сред закон Снеллиуса (7.1) можно переписать через диэлектрические и магнитные восприимчивости в виде

. (7.15)

Из-за особенности преломления электромагнитной волны в левом веществе, изображенной на рис. 7.1 лучами 1 ® 3, нетрудно показать, что выпуклая линза из левого вещества в вакууме рассеивает свет, а вогнутая линза из левого вещества собирает излучение в вакууме.

Сделаем замечание принципиального характера о том, что в левых средах диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества должны обладать частотной дисперсией, т.е. должны иметь место зависимости от частоты и . Действительно, если таковой зависимости нет, то формула для плотности энергии электромагнитного поля имеет вид

. (7.16)

Отсюда следует, что при одновременном выполнении неравенств , энергия электромагнитного поля отрицательна, что противоречит физическому смыслу. В диспергирующей среде плотность энергии монохроматической электромагнитной волны описывается выражением

, (7.17)

которое может быть положительным и при одновременной отрицательности диэлектрической и магнитной проницаемостей. Производные по частоте, фигурирующие в правой части равенства (7.17), положительны, если проницаемости вещества описываются, например, плазмоподобными формулами:

, , (7.18)

где . Легко убедиться, что в этом случае

и

для всех частот. В то же время в диапазоне обе проницаемости отрицательны. Таким образом, в случае справедливости формул (7.18) существует диапазон частот, в котором среда является левой, а энергия электромагнитного поля при этом положительна.

Выше отмечалось, что закон Снеллиуса (7.1) справедлив и для метаматериалов с отрицательным преломлением, если учесть знак коэффициента преломления среды. Это же утверждение относится к эффектам Доплера и Вавилова–Черенкова.

В общем случае эффект Доплера представляет собой изменение частоты периодического процесса при переходе из одной системы отсчета в другую. Изменение частоты электромагнитной волны, распространяющейся в веществе вследствие эффекта Доплера, дается следующими равенствами:

, (7.19)

где – коэффициент преломления среды, – единичный вектор, – относительная скорость источника и приемника электромагнитных волн. Фактор Лоренца описывает релятивистский эффект сокращения временного промежутка при переходе из одной системы отсчета в другую. Из формулы (7.19) следует, что, если в обычной среде () источник и приемник двигаются навстречу друг к другу (), частота излучения, регистрируемая приемником оказывается больше частоты излучения в системе отсчета, связанной с источником . В противоположном случае, когда , частота в системе отсчета приемника уменьшается. Если излучение распространяется в левой среде (), то в соответствии с формулой (7.19) все происходит наоборот: частота уменьшается при движении приемника и источника навстречу друг к другу, т.е. имеет место обращенный эффект Доплера.

Для описания эффекта Вавилова–Черенкова в метаматериале с отрицательным преломлением можно также пользоваться обычными формулами, в которых фигурирует показатель преломления вещества , с учетом того, что (). Так, в среде с угол между скоростью частицы и направлением потока энергии в излучаемой ею электромагнитной волне дается равенством

, (7.20)

где – скорость частицы и – черенковское условие. Таким образом, в левой среде черенковское излучение (соответствующий вектор Пойтинга (7.12)) будет направлено под тупым углом к скорости частицы (полагаем, что ). Хорошо известно, что в обычных средах черенковское излучение испускается под острым углом к скорости заряженной частицы. Таким образом, в левой среде эффект Вавилова–Черенкова так же, как и эффект Доплера, является обращенным. Формула для энергии черенковского излучения в левой среде остается прежней, поскольку в нее входит квадрат показателя преломления.

На рис. 7.5 изображены волновые векторы и векторы Пойтинга для излучения Вавилова–Черенкова в правой среде (а) и в левой среде (b). Видно, что во втором случае угол излучения тупой и векторы и антипараллельны.

Рис. 7.5. Излучение Вавилова–Черенкова в правой среде (a) и в левой среде (b)

В общем случае среды с произвольной правизной преобразуются в формулы Френеля, описывающие изменение компонент электромагнитного поля при пересечении границы раздела сред. Обычно эти формулы записываются в т.н. немагнитном приближении, в котором считается, что магнитная проницаемость вещества равняется единице: . Тогда в выражении для показателя преломления остается только диэлектрическая проницаемость вещества: . В метаматериалах с отрицательным преломлением магнитная (как и диэлектрическая) проницаемость отрицательна , поэтому немагнитное приближение несправедливо. В общем случае для получения правильных выражений в «немагнитных» формулах Френеля нужно производить замену , где – волновое сопротивление среды. Так, например, коэффициент отражения излучения при нормальном падении на границу раздела двух материалов запишется в виде

. (7.21)

Очевидно, что в случае равенство (7.21) переходит в формулу немагнитного приближения:

. (7.22)

Подчеркнем, что соотношение (7.22) «не работает», если одна из сред является метаматериалом с отрицательным преломлением, в то время как выражение (7.21) справедливо для сред с произвольной правизной.

Из (7.21), в частности, следует, что условием отсутствия отраженной волны () является равенство волновых сопротивлений обеих сред: .

Важно подчеркнуть, что в отличие от показателя преломления, который меняет знак при переходе от положительных значений диэлектрической и магнитной проницаемостей к отрицательным значениям, волновое сопротивление среды при таком переходе знака не изменяет, т.е. остается положительной величиной. Из этого обстоятельства следует интересная возможность реализации прохождения электромагнитной волны с произвольной поляризацией через границу раздела сред, когда отраженной волны нет, а преломленная волна присутствует. Это возможно, если в первой среде проницаемости имеют положительные значения , , а во второй среде они равны и . Действительно, в таком случае , и отраженная волна согласно (7.21) отсутствует. В соответствии с законом Снеллиуса (7.1) угол преломления в рассматриваемом случае равен углу падения с обратным знаком: , поскольку . Отсюда вытекает, что преломленная волна распространяется по пути 1–3 (см. рис. 7.1) и не совпадает с падающей волной.

Отметим, что в рассмотренном примере отраженная волна отсутствует для любого угла падения и произвольной поляризации электромагнитного излучения. Если оба материала обычные, то отраженная волна отсутствует, только если излучение поляризовано в плоскости падения, а угол падения равняется углу Брюстера.

Выражение для угла Брюстера в общем случае веществ с произвольной правизной имеет вид

. (7.23)

Очевидно, что в немагнитном приближении () формула (7.23) редуцируется к привычному выражению .

Одно из возможных применений метаматериалов с произвольным показателем преломления (положительным и отрицательным) представлено на рис. 7.6 [13], где показан ход лучей, преломляющихся на оболочке из метаматериала, заключенной между концентрическими сферами с радиусами и , много большими длины волны излучения. Профиль коэффициента преломления в метаматериале подобран таким образом, что плоскопараллельный пучок лучей после рефракции на оболочке снова превращается в плоскопараллельный. Такой выбор зависимости коэффициента преломления от координаты возможен в предположении возможности изготовления метаматериала с соответствующим профилем коэффициента преломления. Если теперь поместить предмет во внутреннюю сферу (с радиусом ), то он окажется невидимым на длине волны излучения. Таким образом, с помощью метаматериала можно реализовать «шапку-невидимку», по крайней мере, в заданном диапазоне длин волн.

Рис. 7.6. Маскировка предмета, находящегося внутри сферы радиуса , с помощью рефракции излучения на оболочке из метаматериала, занимающего объем между сферами и [13]

7.3. Композитные материалы с отрицательным преломлением

Природные материалы с отрицательным преломлением к настоящему времени не обнаружены, поэтому принципиальную важность имеет вопрос об их искусственном изготовлении. Без решения данной проблемы вышеизложенные теоретические соображения оказываются беспредметными. Современный всплеск интереса к левым средам возник после опубликования работы [14], в которой была экспериментально продемонстрирована композитная среда с отрицательными диэлектрической и магнитной проницаемостями. Напомним, что пионерская работа В. Г. Веселаго, посвященная электродинамике левых сред [12], вышла еще в 1967 г. и целых 33 года оставалась без должного внимания именно в силу отсутствия соответствующего материала.

Рассмотрим принципиальные моменты технологии изготовления метаматериалов с отрицательным значением показателя преломления. Как было показано выше, для реализации отрицательных значений показателя преломления необходимо, чтобы диэлектрическая и магнитная проницаемости среды одновременно были отрицательными величинами. Что касается диэлектрической проницаемости, то ее отрицательность характерна для случая плазмы в области низких частот. Это следует из «плазменной» формулы для , которая (в пренебрежении поглощением электромагнитного поля в веществе) имеет вид

(7.24)

Очевидно, что для малых частот ( – плазменная частота) имеем требуемое неравенство на диэлектрическую проницаемость: . Отметим, что если при этом магнитная проницаемость положительная (в частности, ), то показатель преломления является мнимой величиной, а это приводит к затуханию электромагнитной волны в среде.

Выражение (7.24) описывает такие природные среды, как ионосферная и твердотельная плазмы. Оказывается, что можно создать искусственную среду, эффективная диэлектрическая проницаемость которой в далеком инфракрасном и более низкочастотном диапазонах дается формулой (7.24). (Прилагательное «эффективная» говорит о том, что соответствующая величина введена по аналогии со своим прототипом для характеристики процессов на больших пространственных масштабах, когда композитная среда может рассматриваться как сплошная.) Такое вещество может быть использовано, например, для лабораторного исследования электромагнитных свойств ионосферы. Простейшая реализация указанной среды представляет собой периодическую структуру из проволочных кубиков в предположении, что длина ребра куба () много меньше длины волны излучения , а радиус проволоки () много меньше длины ребра . Для данной структуры эффективная плазменная частота, фигурирующая в равенстве (7.4), равна

(7.25)

где – скорость света в вакууме. Напомним, что обычное выражение для плазменной частоты имеет вид

. (7.26)

Формула (7.25) получается из (7.26) путем замены концентрации () и массы электронов на эффективные значения этих величин: , . Эффективное значение концентрации имеет простое геометрическое происхождение, а эффективное значение массы электрона учитывает самоиндукцию в рассматриваемой периодической структуре. Для радиуса проволоки мкм и длины ребра куба мм формула (7.25) дает ГГц. Очевидно, что для больших значений длины ребра куба плазменная частота в соответствии с формулой (7.25) будет меньше. Таким образом, изменяя параметры искусственной проволочной структуры, можно управлять значением эффективной плазменной частоты и соответственно эффективной диэлектрической проницаемостью среды.

Для реализации левой среды важно получить отрицательное значение магнитной проницаемости. Этого можно добиться, если использовать в качестве структурной единицы композитной среды двойной кольцевой резонатор с разрезом, схематическое изображение которого представлено на рис. 7.6. Из-за важной роли такого резонатора в технологии метаматериалов он иногда называется «атомом фотоники». Из рис. 7.6 видно, что двойной резонатор с разрезом состоит из двух металлических колец, вставленных одно в другое, с разрезами, расположенными напротив друг друга. Разрезы необходимы для увеличения резонансной длины волны, а промежуток между кольцами служит для уменьшения резонансной частоты (за счет увеличения емкости) и для концентрации внутри него электрического поля.

Рис. 7.6. Двойной кольцевой резонатор с разрезом

Резонатор эффективно взаимодействует с внешним переменным магнитным полем, вектор напряженности которого перпендикулярен плоскости резонатора. Это поле наводит в проводящих кольцах токи, которые в свою очередь создают магнитное поле, направленное антипараллельно внешнему магнитному полю. В результате в рассматриваемом резонаторе возникает диамагнитный отклик на внешнее электромагнитное воздействие.

На рис. 7.7 представлен одинарный кольцевой резонатор с разрезом в виде эквивалентного L-C контура.

Рис. 7.7. Представление одинарного кольцевого резонатора с разрезом в виде L-C контура

На длинах волн, много больших размера резонатора, вышеописанный процесс может быть охарактеризован с помощью эффективной магнитной проницаемости. Для периодического массива из двойных кольцевых резонаторов с разрезом, являющегося искусственной кристаллической решеткой, эффективная магнитная проницаемость дается выражением

, (7.27)

где – коэффициент заполнения единичной ячейки рассматриваемой периодической структуры, – параметр решетки, – радиус внутреннего кольца, – резонансная частота, – диэлектрическая проницаемость среды, в которую помещен резонатор, – ширина промежутка между кольцами, – магнитная плазменная частота.

Резонансная частота двойного кольцевого резонатора с разрезом, изображенного на рис. 7.8, для мм, мм и мм равна 4, 85 ГГц, а добротность в случае колец из меди превышает 600 (см. рис. 7.8 из пионерской работы Д. Смита с соавторами [14]).

Равенство (7.27) по форме аналогично выражению для диэлектрической проницаемости поляритонов (см. гл. 2), которое было использовано для описания дисперсии поляритонов, с точностью до замены и ( – сила осциллятора, – аналог плазменной частоты, – концентрация активных центров).

Вблизи резонансной частоты магнитная проницаемость среды, представляющей собой периодический массив кольцевых резонаторов с разрезом, может принимать большие (по модулю) значения (см. (7.27)). Таким образом, материал, образованный из немагнитных составных элементов, обнаруживает ярко выраженные магнитные свойства. Такое вещество называется искусственным магнетиком.

Рис. 7.8 Резонансная кривая медного кольцевого резонатора с разрезом (r = 0, 8 мм, d = 0, 2 мм, r = 1, 5 мм) из статьи [14]

Заметим, что известные природные материалы на гигагерцовых частотах и выше не проявляют магнитных свойств, так что . Это связано со слабостью взаимодействия магнитного поля с атомами, составляющими обычное вещество. Данное обстоятельство следует из того факта, что магнитная составляющая силы Лоренца, воздействующая на атомные электроны, примерно в 137 раз меньше электрической составляющей из-за множителя равного постоянной тонкой структуры. Поэтому для получения отрицательного преломления, необходимым условием которого является отрицательность , нужно использовать искусственные «атомы» типа вышеописанного кольцевого резонатора с разрезом.

Из формулы (7.27) следует, что в диапазоне магнитная проницаемость композитной среды, представляющей собой периодический массив кольцевых резонаторов с разрезом, отрицательна. Дисперсионная зависимость ( – частота, – модуль волнового вектора) на этих частотах будет иметь запрещенную зону (или стоп-зону), если , что следует из соотношения . В диапазонах и волновой вектор является действительной величиной, и среда прозрачна для электромагнитных волн. Этому соответствуют две ветви дисперсионной зависимости, аналогичные двум кривым, приведенным на рис. 2.2 при рассмотрении поляритонов в сплошной среде. Чтобы реализовать левую среду, нужно условие отрицательности магнитной проницаемости в стоп-зоне дополнить условием отрицательности диэлектрической проницаемости. Это можно сделать, если магнитный кольцевой резонатор с разрезом (рис. 7.6) дополнить электрическим резонатором, представляющим собой прямой отрезок металлической проволоки, ориентированный вдоль вектора напряженности электрического поля, как это показано на рис. 7.9. Вектор напряженности магнитного поля направлен по нормали к плоскости кольцевого резонатора увеличения магнитной связи.

Рис. 7.9. Магнитный кольцевой резонатор с разрезом, дополненный электрическим резонатором в виде прямого отрезка проводника, и соответствующая ориентация компонент электромагнитного поля

Для структуры, представленной на рис. 7.9, связь между модулем волнового вектора и частотой описывается выражением

, (7.28)

где – эффективная плазменная частота электронов в прямом отрезке металлической проволоки, – коэффициент самоиндукции на единицу длины, – длина отрезка проводника, – магнитная плазменная частота, – резонансная частота кольцевого резонатора с разрезом, – коэффициент, описывающий заполнение плоскости резонатора проводящим материалом колец. Равенство (7.28) является следствием формул (7.24), (7.27) и соотношения .

Из дисперсионного выражения (7.28) вытекает, что при условии волновой вектор электромагнитной волны в прежде запрещенной зоне становится действительной величиной. При этом диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, составленной из структурных единиц, приведенных на рис. 7.9, в частотном интервале имеют отрицательные значения.

Первый метаматериал с отрицательной диэлектрической и магнитной проницаемостями на основе структуры, изображенной на рис. 7.9, был продемонстрирован в работе Д. Смита с соавторами [14]. Эффект отрицательного преломления в этой статье был зафиксирован в частотном интервале от 4, 8 до 5, 1 ГГц. Искусственная периодическая структура, состоящая из кольцевых резонаторов с прорезью и прямых отрезков проводника, позволяющая получить отрицательное преломление в гигагерцовом диапазоне частот, изображена на рис. 7.10.

После того как было продемонстрировано отрицательное преломление в гигагерцовом диапазоне частот, начали предприниматься усилия для получения данного эффекта в инфракрасной и видимой областях спектра. Основная трудность на этом пути заключалась в получениях отрицательного значения магнитной восприимчивости. Как видно из выражения для резонансной частоты двойного кольцевого резонатора с разрезом , в предположении данная частота возрастает обратно пропорционально размеру резонатора . Таким образом, для перехода из гигагерцового в оптический диапазон размер резонатора должен быть уменьшен почти в миллион раз. На самом деле вышеописанный скейлинг справедлив вплоть до частоты 200 ТГц. На более высоких частотах металл, из которого изготовлен резонатор, нельзя рассматривать как идеальный проводник. Действительно, с ростом частоты при выполнении неравенства (4.34) металл начинает проявлять диэлектрические свойства. В процессе перехода в оптический диапазон по причине большей простоты изготовления двойной резонатор с разрезом был заменен на одинарный (см. рис. 7.11).

Рис. 7.10. Искусственная периодическая среда, позволяющая получить эффект отрицательного преломления

Оказалось, что в нанометровом масштабе трудно изготовить трехмерную структуру, изображенную на рис. 7.9, поэтому был разработан альтернативный дизайн метаматериала с отрицательным преломлением. Новый подход базировался на том факте, что пара металлических проволок или пластин, разделенных диэлектрическим промежутком, может обеспечить магнитный резонанс, необходимый для получения отрицательного значения магнитной проницаемости. Этот магнитный резонанс возникает вследствие антипараллельного тока в проволочной паре, при котором на концах проволок аккумулируется заряд разного знака. Кроме магнитного резонанса в рассматриваемой структуре возникает также электрический резонанс, приводящий к отрицательному значению диэлектрической проницаемости, что необходимо для отрицательного преломления среды. Однако пересечения спектральных областей двух резонансов оказалось трудно достичь. Для устранения данного недостатка была разработана наноструктура, которая называется двойная «рыболовная сеть». Она состоит из пары металлических «рыболовных сетей», разделенных диэлектрическим промежутком. Данная структура изображена в правом нижнем углу рис. 7.11.

Рис. 7.11. Развитие технологии метаматериалов

Достоинство «рыболовной сети» по сравнению со структурой, представленной на рис. 7.10, состоит также в том, что электромагнитная волна падает перпендикулярно плоскости образца, а не вдоль его поверхности, как в случае кольцевого резонатора с разрезом, что существенно облегчает проведение соответствующих экспериментов.

7.4. Другие типы метаматериалов

Бианизотропные среды

Другим примером метаматериалов являются бианизотропные среды, в которых электрическая индукция зависит не только от электрического, но и от магнитного поля так же, как магнитная индукция, являющаяся функцией напряженностей магнитного и электрического полей. Материальные уравнения в общем случае бианизотропной среды имеют вид

, . (7.29)

В равенства (7.29) помимо тензора диэлектрической и магнитной проницаемостей входят также тензоры и , описывающие магнитоэлектрическую связь. Данные тензоры называются тензорами магнитоэлектрической проницаемости.

Материальные уравнения (7.29) обобщают ранее рассмотренный случай изотропной среды, когда связь между индукцией и напряженностью поля дается выражениями (7.8) – (7.9), в которых , , , .

Наличие в D слагаемого, пропорционального H, означает, что ток, индуцируемый переменным магнитным полем в элементах, образующих среду, вызывает не только магнитный дипольный момент, но и электрический дипольный момент. Аналогично, переменное электрическое поле индуцирует в таких элементах ток, который создает как электрический, так и магнитный дипольные моменты, поэтому не только D, но и B содержит слагаемое, пропорциональное E [15].

Как видно из равенств (7.29), бианизотропная среда характеризуется большим числом параметров, содержащихся в четырех тензорах проницаемостей. Всего имеется 4 × 9 = 36 комплексных параметров, поскольку трехмерный тензор 2-го ранга, каковым являются все вышеприведенные проницаемости, имеет, вообще говоря, 9 компонент. В случае среды с определенным типом симметрии число независимых компонент тензоров проницаемости может быть меньше 9.

Классификация типов сред в зависимости от вида тензоров , , и приведена в табл. 7.1 [15].

Т а б л и ц а 7.1

Тип среды
изотропная
киральная
биизотропная
анизотропная
бианизотропная
гиротропная
бигиротропная
одноосная
одноосная бианизотропная
двухосная
двухосная бианизотропная
непоглощающая
взаимная

В таблице 7.1 использованы следующие обозначения: – символ Кронекера, – полностью антисимметричный объект Леви-Чевита, u и v – векторы, задающие направления оптических осей.

Заметим, что в изотропной среде с учетом пространственной дисперсии выражение для тензора диэлектрической проницаемости можно записать в общем виде через продольную и поперечную компоненты, которые зависят от модуля волнового вектора и частоты:

. (7.20)

В пренебрежении пространственной дисперсией, когда исчезает зависимость компонент диэлектрической проницаемости от волнового вектора, имеем . Тогда (7.20) сводится к простой формуле: , отвечающей изотропной среде без пространственной дисперсии.

Особый интерес представляют среды, распространение электромагнитных волн в которых требует учета как электрической, так и магнитной анизотропии. Наиболее характерным в этом плане материалом, проявляющим бигиротропные свойства в инфракрасном диапазоне, является монокристаллический железоиттриевый гранат Y₃Fe₅O₁₂ и его различные модификации с замещением части ионов иттрия на ионы редкоземельных металлов Bi, Lu, Tb.

Одним из способов реализации бианизотропной среды является создание композиционных материалов, включающих проводящие частицы специальной формы. Примером такой частицы является омега-частица, изображенная на рис. 7.14, которая служит структурным элементом метаматериала, называемого омега-композитом.

Омега-частица обеспечивает магнитоэлектрическую связь, причем электрический и магнитный моменты, наведенные в ней электромагнитным полем, перпендикулярны друг к другу. При расположении двух омега-частиц в одной плоскости таким образом, что их прямолинейные участки взаимно перпендикулярны, получается т.н. «шляпка» – структурный элемент одноосной бианизотропной среды.

Рис. 7.14. Омега-частица, используемая при создании бианизотропных материалов

Бианизотропные материалы обладают необычными электромагнитными свойствами, перспективными для создания на их основе неотражающих покрытий, фазовращателей специального типа и других типов преобразователей электромагнитного излучения.

Фотонные кристаллы

К метаматериалам относятся также фотонные кристаллы, представляющие собой среды с периодическим изменением показателя преломления. Свойства фотонных кристаллов описаны в гл. 4. В отличие от рассмотренных выше композитных материалов, в которых размер структурной единицы много меньше длины волны (что позволяло считать их сплошной средой), в фотонных кристаллах пространственный период изменения показателя преломления – порядка длины волны излучения. Именно это обстоятельство лежит в основе специфических электромагнитных свойств фотонных кристаллов, одним из которых является наличие запрещенной фотонной зоны. В этой зоне отсутствуют распространяющиеся электромагнитные волны подобно тому, как в запрещенной электронной зоне полупроводников и диэлектриков отсутствуют электронные состояния. Данное свойство может быть использовано для создания оптических волноводных структур, в которых потери, связанные с выходом излучения за пределы волновода, близки к нулю. Кроме того, фотонная запрещенная зона применяется для создания резонаторов с высокой добротностью в заданном спектральном диапазоне.

Литература

1. Ландау Л.Д., Лифщиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. – М.: Физматлит, 2003. – 652 с.

2. Meixner A., Bopp M., Tarrach G. Direct measurement of standing evanescent waves with a photon scanning tunneling microscope // Appl. Opt. – 1994. – V. 33. – P. 7995.

3. Pohl D.W., Denk W., Lanz M.Optical stethoscopy: image recording with resolution l/20 // Appl. Phys. Lett. – 1984. – V. 44. – P. 651–653.

4. Synge E.H.A suggested model for extending microscopic resolution into the ultra-microscopic region // Phil. Mag. – 1928. – V. 6. – P. 356–362.

5. Осадько И.С. Микроскоп ближнего поля как инструмент для исследования наночастиц. // Успехи физ. наук. 2010. – Т. 180. – С.83.

6. https://www.edu.ioffe.ru/register/? doc=winter/2002/main/kalit

7. Durig U., Pohl D.W., Rohner F.Near-field optical scanning mivroscopy // J. Appl. Phys. – 1986. – V. 59. – P. 3318– 327.

8. Novotny L., Hecht B. Principles of nano-optics. – Cambridge: Cambridge University Press, 2007. – 539 p.

9. Yang T.J., Lessard G.A., Quake S.R.An apertureless near-field microscope for fluorescence imaging // Appl. Phys. Lett. – 2000. V. 76. – P. 378–380.

10. Raether H.Surface plasmons. – Berlin: Springer, 1988. – 135 p.

11. Ghaemi H. F., Tineke Thio, Grupp D. E. [et al.]. Surface plasmons enhance optical transmission through subwavelength holes // Phys. Rev. B. – 1998. – V. 58. – P. 6779–6782.

12. Веселаго В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями e и m // УФН. – 1967. – Т. 92. – С. 517–526.

13. Гуляев Ю.В., Лагарьков А.Н., Никитов С.А. Метаматериалы: фундаментальные исследования и перспективы применений // Вестн