Силы осцилляторов для атома водорода

3.4. Динамическая поляризуемость атома

Рассмотрим теперь отклик атома на электромагнитное воздействие. Будем предполагать, что напряженность электрического поля в электромагнитной волне мала по сравнению с напряженностью поля атома водорода на первой боровской орбите :

. (3.41)

Атомной напряженности соответствует атомная интенсивность излучения , так что неравенство (3.41) можно переписать в виде

. (3.42)

Отклик атома на электромагнитное излучение может быть охарактеризован наведенным дипольным моментом , который в случае монохроматического поля равен

. (3.43)

Здесь введена динамическая поляризуемость атома , которая определяется равенством

. (3.44)

В формулах (3.43)–(3.44) – комплексный вектор напряженности электрического поля в монохроматическом излучении, являющийся фурье-компонентой от .

Напомним, что дипольный момент атома в отсутствие внешних полей равен нулю в силу сферической симметрии, поэтому величина наведенного дипольного момента действительно может служить мерой возмущения атома внешним воздействием. Линейная зависимость от напряженности электрического поля (3.43) справедлива в случае малости величины в смысле выполнения неравенств (3.41)–(3.42). Таким образом, для достаточно малых полей отклик атома на электромагнитное возмущение может быть охарактеризован его поляризуемостью .

Для определения динамической поляризуемости атома воспользуемся спектроскопическим принципом соответствия. Согласно этому принципу изменение состояния атома складывается из изменения движения осцилляторов, соответствующих переходам между атомными состояниями (осцилляторов переходов). Неравенства (3.41) – (3.42) означают малость возмущения состояния атомного электрона за счет действия электромагнитного поля. Таким образом, можно считать отклонения осцилляторов переходов от положения равновесия под воздействием поля малыми, поэтому для -го осциллятора справедливо уравнение движения в гармоническом приближении:

, (3.45)

где – радиус-вектор, соответствующий отклонению осциллятора перехода от положения равновесия; , , – константа затухания, собственная частота и сила осциллятора. Для простоты рассматриваем одноэлектронный атом в основном состоянии, дипольный момент которого равен (В случае многоэлектронного атома дипольный момент равен сумме дипольных моментов атомных электронов.) В силу принципа соответствия наведенный дипольный момент атома складывается из наведенных дипольных моментов осцилляторов переходов : . Переходя в этом равенстве к фурье-компонентам, имеем

, (3.46)

где – фурье-образ радиуса-вектора отклонения осциллятора перехода от положения равновесия. Выражение для этой величины следует из уравнения движения (3.45):

. (3.47)

Подставляя формулу (3.47) в равенство (3.46) и используя определение поляризуемости (3.44), находим для нее следующее выражение:

. (3.48)

Отсюда вытекает, что динамическая поляризуемость атома представляет собой, вообще говоря, комплексную величину с размерностью объема. Мнимая часть поляризуемости пропорциональна константам затухания осцилляторов переходов. Сумма в правой части равенства (3.48) включает в себя как суммирование по дискретному энергетическому спектру, так и интегрирование по непрерывному спектру энергии. Как мы увидим далее, мнимая часть поляризуемости ответственна за поглощение излучения, а действительная часть определяет преломление. Выражение (3.48) описывает не только одноэлектронный, но и многоэлектронный атом. Многоэлектронность атома учитывается тем обстоятельством, что в определении силы осциллятора (3.39) дипольный момент атома равен сумме дипольных моментов его электронов.

Из равенства (3.48) можно получить несколько важных предельных случаев. Так, если частота внешнего поля равна нулю, то формула (3.48) дает выражение для статической поляризуемости атома:

. (3.49)

Отсюда видно, что статическая поляризуемость – действительная и положительная величина. Она имеет большое численное значение, если в спектре атома есть переходы с большой силой осциллятора и малой собственной частотой.

В противоположном, высокочастотном, пределе, когда и можно пренебречь собственными частотами в знаменателях (3.48), из формулы (3.48) с учетом золотого правила сумм (3.40) получаем

. (3.50)

Высокочастотная поляризуемость атома (3.50) – действительная и отрицательная величина. Наконец, если частота внешнего поля близка к одной из собственных частот осцилляторов перехода, так что выполняется условие резонанса:

, (3.51)

и можно оставить одно резонансное слагаемое в сумме (3.48), то из (3.48) следует выражение для резонансной поляризуемости:

. (3.52)

При выводе (3.52) из (3.48) в нерезонансных комбинациях было пренебрежено отличием частоты внешнего поля от собственной частоты перехода. Резонансная поляризуемость является комплексной величиной, действительная часть которой может быть как положительной, так и отрицательной.

Равенство (3.44), определяющее динамическую поляризуемость, после взятия обратного фурье-преобразования может быть переписано в виде

, (3.53)

где – действительная функция времени, фурье-образ которой равен динамической поляризуемости . Наиболее простое выражение для следует из формулы (3.52):

, (3.54)

где – ступенчатая функция Хэвисайда. Временная зависимость наведенного дипольного момента совпадает с временной зависимостью правой части равенства (3.54) для дельта-импульса поля: , где – дельта-функция Дирака. В общем случае выражение для может быть получено путем замены частоты и суммирования по всем осцилляторам переходов. Заметим, что уменьшение собственной частоты колебаний с учетом затухания, следующее из приведенной замены, вполне естественно, поскольку трение (аналог затухания) уменьшает скорость движения.

Из формулы (3.54), в частности, следует равенство нулю поляризуемости для времен , что является отражением принципа причинности. Действительно, как это видно из (3.53), чтобы следствие по времени было позже его причины, необходимо выполнение условия: . Принцип причинности налагает определенные ограничения на вид функции , откуда вытекают соотношения Крамерса-Кронига, связывающие действительную и мнимую часть динамической поляризуемости. Эти формулы имеют вид

, (3.55)

, (3.56)

введен интеграл в смысле главного значения:

. (3.57)

Пользуясь равенствами (3.55) – (3.56), можно по мнимой части поляризуемости восстановить действительную часть и наоборот.

3.5. Поглощение и рассеяние света атомом

Другое важное соотношение, называемое оптической теоремой, связывает мнимую часть динамической поляризуемости и сечение поглощения электромагнитного излучения атомом :

. (3.58)

Отсюда с учетом выражения для резонансной поляризуемости (3.52) следует формула для сечения поглощения резонансного излучения на связанно-связанном переходе в атоме:

. (3.59)

Это равенство можно переписать в виде

, (3.60)

где

(3.61)

– нормированная форма спектральной линии атомного перехода при однородном уширении. Из формул (3.60) – (3.61) следует, что ширина спектральной линии равна константе затухания соответствующего осциллятора атомного перехода: . Таким образом, время затухания наведенного дипольного момента (см. формулу (3.54)) обратно пропорционально ширине линии поглощения . В случае изолированного атома в неограниченном пространстве ширина линии определяется вероятностью спонтанного излучения, т.е. коэффициентом Эйнштейна (3.36):

. (3.62)

Выражение (3.62) определяет так называемое естественное уширение спектральной линии. Естественное уширение является минимально возможным, поскольку определяется неустранимой причиной – спонтанным излучением. С учетом формул (3.60), (3.62) и (3.36) находим величину сечения поглощения излучения в максимуме для перехода в изолированном атоме:

, (3.63)

где и – статистические веса соответствующих состояний. Таким образом, сечение поглощения в максимуме частотной зависимости в случае естественного уширения спектральной линии пропорционально квадрату длины волны резонансного излучения, т.е. в широком спектральном диапазоне намного превосходит геометрическое сечение атома.

Динамическая поляризуемость определяет в дипольном приближении (3.24) релеевское сечение рассеяния электромагнитного излучения атомом, т.е. рассеяния без изменения длины волны излучения. Соответствующая формула имеет вид

. (3.64)

Выражение (3.64) получается из определения сечения процесса через вероятность и поток фотонов, формулы (3.35) для мощности электромагнитного излучения на частоте , выражения для дипольного момента через поляризуемость (3.44) и формулы для интенсивности излучения через напряженность электрического поля. Из равенства (3.64) следует, что в пределе низких частот () сечение рассеяния пропорционально четвертой степени частоты излучения.

В высокочастотном пределе, когда справедливо выражение (3.50) для поляризуемости сечение рассеяния, и при равенство (3.64) переходит в известную формулу Томсона:

, (3.65)

где введен «классический» радиус электрона:

. (3.66)

Формула Томсона описывает рассеяние электромагнитного излучения на свободном электроне. Она получается при использовании высокочастотного предела для поляризуемости (3.50), поскольку для свободного электрона собственные частоты равны нулю, так что условие высокочастотности удовлетворяется автоматически.

В резонансном случае (см. условие (3.51)) формула (3.64) дает

. (3.67)

Из этого выражения получаем сечение рассеяния в максимуме спектральной линии в случае естественного уширения (3.62):

. (3.68)

Итак, резонансное сечение рассеяния электромагнитного излучения на атоме в максимуме частотной зависимости (3.68) так же, как и резонансное сечение поглощения (3.63), пропорционально квадрату длины волны излучения и не зависит от дипольного момента перехода , если имеет место естественное уширение спектральной линии (3.62).

Поляризуемость атома определяет сдвиг его энергии во внешнем электрическом поле , если последнее не слишком велико (см. неравенства (3.41) – (3.42)). Тогда имеет место так называемый квадратичный эффект Штарка, т.е. квадратичная зависимость от напряженности электрического поля. В случае постоянного электрического поля, слабо изменяющегося в пространстве на расстоянии, порядка размера атома , формула для сдвига энергии при квадратичном эффекте Штарка имеет вид

, (3.69)

где – статическая поляризуемость атома (см. формулу (3.49)).

Статическая поляризуемость водородоподобного атома с зарядом ядра Z равна

(3.70)

Атомная единица поляризуемости совпадает с кубом боровского радиуса (3.7), так что: . Убывание поляризуемости (3.70) как очевидно из формул (3.49) и (3.17), если учесть, что сила осциллятора водородоподобного атома не зависит от заряда ядра. Статическая поляризуемость атома, грубо говоря, тем больше, чем больше атомный объем и чем меньше потенциал ионизации атома. Поэтому наибольшей поляризуемостью обладают атомы щелочных металлов, обладающие минимальными потенциалами ионизации (менее 5, 5 эВ), и наименьшей – атомы инертных газов, у которых потенциал ионизации велик (более 12 эВ). Характерная величина статической поляризуемости щелочных атомов составляет несколько сотен атомных единиц, а атомов инертных газов – от 1, 38 а. е. у гелия до 27 а. е. у ксенона. Наибольшей величиной обладает резонансная поляризуемость атомов (формула (3.52)), достигающая десятков тысяч атомных единиц.

Динамическая поляризуемость определяет спектральную мощность так называемого поляризационного тормозного излучения (ПТИ). ПТИ возникает в процессе рассеяния заряженной частицы на атоме. В этом случае фотон излучается в результате наведения динамической поляризации в электронных оболочках атома. Наиболее простая трактовка ПТИ использует метод эквивалентных фотонов Ферми, в котором рассеивающаяся заряженная частица заменяется потоком эквивалентных фотонов, порожденных ее электромагнитным полем. Интенсивность потока эквивалентных фотонов в спектральном интервале в приближении прямопролетных заряженных частиц дается равенством

, , (3.71)

где , , – заряд, концентрация и скорость налетающих частиц, – эффективный радиус атома. Выражение для спектральной мощности ПТИ можно получить с использованием сечения рассеяния (3.64), которое в данном случае описывает рассеяние виртуальных фотонов, составляющих собственное поле налетающей частицы. Соответствующая формула имеет вид

, (3.72)

что дает

. (3.73)

Выражение (3.73) справедливо в частотном интервале , где применимо дипольное приближение по взаимодействию налетающей частицы с атомом. Важным свойством ПТИ, отличающим его от обычного тормозного излучения, является независимость интенсивности от массы налетающей частицы.

Таким образом, используя принцип соответствия и понятие силы осциллятора, нам удалось описать ряд процессов взаимодействия излучения с атомом, не прибегая к квантовой механике. Изложенный подход позволил получить выражение для динамической поляризуемости атома (см. формулу (3.48)), лежащее в основе теории дисперсии электромагнитного поля в среде.