![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Г л а в а 4. Электромагнитное излучение в среде
4.1. Уравнения Максвелла в среде Микроскопическое электрическое
где Фигурирующие в системе (4.1) – (4.4) микроскопические поля имеют сложную пространственную структуру, отражающую особенности атомного строения вещества. Тонкие детали этих полей содержат в себе избыточную информацию, как правило, ненужную в практических приложениях. Чтобы преодолеть эти недостатки, вместо микроскопических полей
где усреднение производится по физически бесконечно малому объему После усреднения по формулам (4.5) левых и правых частей равенств (4.1) – (4.4) система уравнений Максвелла принимает вид
В правой части равенства (4.8) плотность электрического тока, усредненная по физически бесконечно малому объему, представлена в виде суммы плотности тока проводимости
где
Вектор поляризации среды связан с усредненной по бесконечно малому физическому объему плотностью связанных зарядов
В правой части (4.9) для общности введена плотность внешних зарядов Три составляющие вектора поляризации среды
выражающим закон сохранения электрического заряда в дифференциальной форме. В то же время равенство (4.13), как в этом легко убедиться, автоматически выполняется для любого вектора Уравнения Максвелла (4.8) и (4.9) можно записать в более компактном виде, если ввести вектор электрической индукции
Тогда вместо уравнений (4.7) и (4.8) с учетом закона Ома (4.10) имеем
4.2. Линейный отклик среды на электромагнитное воздействие
Для не слишком сильных полей вектор электрической индукции линейным образом зависит от вектора напряженности электрического поля. Соответствующее выражение имеет вид
Здесь введены диэлектрическая проницаемость среды e и восприимчивость среды
Функция
где
Записывая комплексную функцию
т.е. действительная часть восприимчивости является четной функцией частоты, а мнимая часть – нечетной. Диэлектрическая восприимчивость среды Формула (4.19) связывает поляризацию среды и макроскопическое поле через диэлектрическую восприимчивость вещества. Поляризация среды может быть выражена через локальное электрическое поле
где
Равенство (4.24) справедливо, например, для кубических кристаллов. Второе слагаемое в этой формуле представляет собой так называемое поле Лорентца, т.е. электрическое поле, создаваемое на атоме поляризационными зарядами, расположенными на внутренней поверхности фиктивной сферической полости, вырезанной вокруг рассматриваемого атома в диэлектрическом образце. Заметим, что если образец представляет собой однородный диэлектрический шар, помещенный в однородное внешнее поле
Отсюда следует, что для разреженной среды, когда диэлектрическая проницаемость близка к единице, справедливо приближенное равенство:
Из этой формулы для больших частот вытекает выражение для высокочастотной диэлектрической проницаемости. Выпишем его для моноатомной среды:
где 4.3. Распространение электромагнитной волны в среде Рассмотрим монохроматическое излучение, напряженность электрического и магнитного поля в котором представляет собой плоскую волну:
где
Если выполняется неравенство
то можно пренебречь вторым слагаемым в круглых скобках правой части равенства (4.32) по сравнению с единицей, и вместо (4.32) получаем
Условие (4.34) является критерием «диэлектричности» среды, что соответствует пренебрежению током проводимости по сравнению с током смещения. В противоположном пределе, когда среда является проводником, из уравнения (4.32) находим
Рассмотрим сначала случай диэлектрической среды. Исключая из уравнений (4.30) и (4.35) напряженность магнитного поля, получаем алгебраическое уравнение на комплексную амплитуду электрического поля в плоской волне:
При выводе левой части этого равенства была использована известная формула для двойного векторного произведения: Пусть вектор напряженности электрического поля перпендикулярен волновому вектору, т.е. имеет место случай поперечного поля
Отсюда получаем закон дисперсии поперечных электромагнитных волн в диэлектрической среде:
Как видно из последнего равенства, волновой вектор электромагнитного поля в среде, вообще говоря, есть комплексная величина:
Здесь введены действительная
Решение системы (4.41) – (4.42) имеет вид
Если, как это часто бывает в случае диэлектрической среды,
Итак, в случае малой величины мнимой части диэлектрической проницаемости комплексный показатель преломления среды дается приближенными равенствами (4.45) – (4.46). Подставляя волновой вектор (4.40) в уравнение (4.30), находим для комплексной амплитуды напряженности магнитного поля:
Из этого равенства вытекает соотношение между амплитудами и фазами напряженностей электрического и магнитного полей в среде. Из равенства (4.28) с учетом выражения для волнового вектора (4.40) находим для напряженности электрического поля в плоской волне, распространяющейся в среде:
где предположено, что
если же Поскольку интенсивность излучения
т.е. имеет место затухание излучения с коэффициентом экстинкции (extinction)
Случай диэлектрической среды и проводника можно рассматривать единообразно, если произвести следующую замену диэлектрической проницаемости:
Для металлов справедливо неравенство, обратное к (4.34), в таком случае, принимая во внимание замену (4.52), можно считать, что
В этом случае из (4.43) – (4.44) следует
Затухание электромагнитной волны при распространении в среде не обязательно связано с истинным поглощением энергии поля, чему соответствует наличие мнимой части у диэлектрической проницаемости. Коэффициент Запишем выражение для вектора Пойтинга в среде:
где
где Вычислим дивергенцию от вектора Пойтинга (4.55), воспользовавшись уравнениями Максвелла в среде (4.6), (4.15) и формулой векторного анализа
Поскольку левая часть равенства (4.57) описывает изменение энергии электромагнитного поля за счет выхода излучения за границу выделенного объема, (что следует из формулы Гаусса-Остроградского), то правую часть равенства (4.57) можно отождествить с изменением энергии электромагнитного поля в единицу времени в единичном объеме. Иными словами, величина
представляет собой мгновенную мощность электромагнитного поля в единице объема, связанную с уменьшением или увеличением энергии поля. Вычислим с помощью формулы (4.58) среднюю за период мощность, рассеиваемую монохроматическим излучением в среде. Для этого выразим действительные функции времени, фигурирующие в правой части равенства (4.58), через соответствующие комплексные величины по формуле
и воспользуемся формулой (4.18) для электрической индукции. После усреднения по периоду поля
Итак, мощность монохроматического излучения, поглощаемая в среде, пропорциональна мнимой части диэлектрической проницаемости (или восприимчивости) вещества. (Магнитные среды, в которых Подчеркнем, что поглощение имеет место, если Определим условия усиления излучения, когда для диэлектрической проницаемости среды справедливо выражение (4.26). Для простоты рассмотрим вклад в восприимчивость атомов одного типа. Обобщим выражение для динамической поляризуемости основного состояния атома (3.48) на случай атома, находящегося в m -м состоянии:
Тогда с учетом заселенности m -го состояния атома
где
причем
При выводе формулы (4.64) было использовано равенство
которое следует из соотношения между силами осцилляторов взаимно обратных переходов:
где Таким образом, условие усиления резонансного излучения в среде имеет вид
Выполнение этого критерия означает инвертированность среды, а величина Отношение мощности электромагнитного излучения, выделяемой (диссипируемой) в единице объема среды, к интенсивности излучения имеет размерность обратной длины и называется коэффициентом усиления (поглощения):
Заметим, что это выражение совпадает с формулой (4.51) для коэффициента экстинкции, если в нем положить
где
Таким образом, как это следует из полученных выражений (4.68) – (4.70), резонансное излучение в среде усиливается, если имеет место инверсия населенностей (4.67) на активном переходе
4.4. Отражение и преломление электромагнитных волн
Рассмотрим распространение плоской электромагнитной волны через плоскую границу раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями Как видно из рис. 4.1, волне, падающей на границу раздела сред, соответствует индекс «i», отраженной волне соответствует индекс «r» и преломленной волне – индекс «p». Поскольку граница раздела сред лежит в плоскости xy (ось y перпендикулярна плоскости рисунка), задача о распространении волны однородна в направлениях, задаваемых осями x и y. (Диэлектрическая проницаемость изменяется только вдоль оси z.) Поэтому функциональная зависимость напряженностей электрического и магнитного полей от переменных x и y одинакова во всем пространстве. В частности, если волновой вектор в падающей волне лежит в плоскости xz, то волновые векторы отраженной и преломленной волн будут лежать в той же плоскости. Таким образом, справедливы равенства
Рис. 4.1. Распространение плоской электромагнитной волны через границу раздела двух сред
Из равенств (4.71) следуют (в случае прозрачных сред
Для z -компонент волновых векторов преломленной, падающей и отраженной волн из рис. 4.1 с учетом равенств (4.71) имеем
где диэлектрические проницаемости являются, вообще говоря, комплексными величинами. Свяжем напряженности электрического и магнитного полей в преломленной и отраженной волнах с напряженностями соответствующих полей в падающей волне. Для этого воспользуемся граничными условиями для тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей на границе раздела сред:
Равенства (4.74) следуют из уравнений Максвелла (4.6) и (4.8), если эти уравнения переписать в интегральной форме, воспользовавшись формулой Стокса. Разложим вектор напряженности электрического поля на две составляющие:
Полученное уравнение нужно дополнить уравнением для напряженности магнитного поля. Магнитное поле в плоской волне может быть выражено через электрическое поле с помощью соотношения (4.30). Тангенциальная составляющая вектора напряженности магнитного поля в геометрии рис. 4.1 направлена вдоль оси x. Поэтому второе из равенств (4.74) с помощью формулы (4.30) может быть записано в виде
При записи (4.76) было учтено, что в случае перпендикулярной поляризации падающей волны отличны от нуля только y -компоненты векторов напряженностей электрического поля. Решая систему уравнений (4.75) – (4.76), находим
где выражения для z -составляющих волновых векторов излучения даются формулами (4.73). Для прозрачной среды равенства (4.72) – (4.73) и (4.77) дают
Формулы (4.78) описывают связь напряженности электрического поля в преломленной и отраженной волнах с напряженностью электрического поля в падающей волне в случае перпендикулярной поляризации. Случай параллельной поляризации падающей электромагнитной волны удобно анализировать в терминах напряженности магнитного поля, вектор которой тогда перпендикулярен плоскости падения xz. Второе из равенств (4.74) в полной аналогии с уравнением (4.75) дает
Для тангенциальных составляющих вектора напряженности электрического поля, которые в рассматриваемом случае являются x -проекциями, с помощью уравнений Максвелла можно получить
С учетом соотношения (4.80) условие непрерывности тангенциальной составляющей напряженности электрического поля (первое из равенств (4.74)) дает
В случае прозрачных сред формулы (4.79), (4.81) и (4.72) приводят к следующему результату:
Соотношения (4.78), (4.82) называются формулами Френеля. Они были получены в 1821 году на основании упругих представлений о свете до того, как были сформулированы уравнения Максвелла. Введем коэффициент отражения электромагнитного излучения от границы раздела сред, который по определению равен
где
Если электромагнитная волна падает из вакуума (
В случае нормального падения оптического излучения на границу раздела воздух/стекло, когда Коэффициенты отражения в случае наклонного падения на границу раздела для различных поляризаций излучения можно получить из формул Френеля (4.78), (4.82):
Данные выражения описывают зависимость коэффициентов отражения от угла падения, если учесть второе равенство в формуле (4.72). Из выражения (4.87) для коэффициента отражения параллельно поляризованного излучения следует, что если
Угол, определяемый равенством (4.88), называется углом Брюстера ( На рис. 4.2 приведены зависимости коэффициентов отражения перпендикулярно и параллельно-поляризованной волны от угла падения для двух значений относительного коэффициента преломления
Рис. 4.2. Коэффициент отражения излучения от границы раздела сред при перпендикулярной и параллельной поляризации как функция угла падения для двух значений относительного показателя преломления:
В случае параллельной поляризации излучения угловая зависимость коэффициента отражения имеет нулевой минимум при угле падения, равном углу Брюстера. Угол Брюстера возрастает с ростом относительного коэффициента преломления в соответствии с выражением (4.88). Так, при Другое важное обстоятельство, вытекающее из рис. 4.2, заключается в том, что если относительный показатель преломления меньше единицы, то существует такой угол
при котором угол преломления равен 90 градусов. Иными словами, при углах падения Пользуясь формулами Френеля (4.78) и (482), можно проследить изменение поляризации излучения при прохождении границы раздела сред. В тривиальном случае нормального падения поляризация не изменяется. Поляризация не изменяется также, если вектор напряженности электрического поля параллелен или перпендикулярен плоскости падения. При наклонном падении угол между плоскостью падения и вектором напряженности электрического поля увеличивается для преломленной волны и уменьшается для отраженной волны. Из выражений (4.78), (4.82) также следует характер изменения фазы излучения при пересечении границы раздела сред. В рассматриваемом случае прозрачных сред, когда коэффициенты пропорциональности между напряженностями полей в формулах Френеля вещественны, изменение фазы может быть либо нулевым, либо равняться p в зависимости от знаков соответствующих коэффициентов в (4.78), (4.82). Коэффициент связи между напряженностью поля в падающей и прошедшей волне всегда положителен, так что фаза излучения при преломлении не меняется. При отражении фаза может измениться. Например, в случае нормального падения фаза отраженной волны изменяется на p радиан, если Приведенное выше рассмотрение проведено в предположении скачкообразного изменения диэлектрической проницаемости на границе раздела сред. В действительности всегда имеется переходной слой вещества конечной толщины d, величина которого порядка межатомного расстояния в средах. Таким образом, формулы Френеля справедливы при соблюдении неравенства Явление полного внутреннего отражения излучения на границе раздела сред используется в оптических волокнах для передачи информации на большие расстояния, целей оптоэлектроники и передачи световой энергии. Оптическое волокно состоит из сердцевины, являющейся «проводником» фотонов, и оболочки, служащей отражателем фотонов. Показатель преломления сердцевины оптоволокна больше показателя преломления оболочки, так что при не слишком малых углах падения излучения на поверхность сердцевины изнутри имеет место полное внутреннее отражение. Таким образом, электромагнитная волна «каналируется» вдоль сердцевины оптического волокна с малыми потерями энергии. Так, в оптических волокнах на основе SiO2 потери составляют до 0, 2 дБ/км, а полоса пропускания до 100 ГГц/км. Наряду с оптоволокном в последнее время в технических приложениях используются фотонные кристаллы – материалы с периодическим изменением диэлектрической проницаемости среды на расстояниях порядка длины волны излучения в оптическом и ближнем инфракрасном диапазонах. Распространение электромагнитной волны в таких периодических структурах сопровождается отражением от плоскостей симметрии вещества подобно тому, как это происходит с электронами в кристаллах. В результате возникают «фотонные запрещенные зоны», т.е. диапазоны длин волн, порядка периода структуры фотонного кристалла, в которых невозможно распространение электромагнитного излучения. Таким образом, фотонный кристалл, прозрачный для широкого спектра электромагнитного излучения, оказывается непрозрачным в спектральном диапазоне, определяемом структурой кристалла. Фотонные запрещенные зоны – оптический аналог электронных запрещенных зон в полупроводниках. Наличие запрещенных зон позволяет использовать фотонный кристалл как волновод. Для этого внутри фотонного кристалла нужно создать волноводную полость, по которой может распространяться излучение. Если частота излучения лежит в фотонной запрещенной зоне, то оно не сможет покинуть пределы полости, поскольку в окружающей среде распространение электромагнитной волны невозможно. Такого рода волновод имеет определенные преимущества перед оптоволоконным волноводом. Действительно, если оптическое волокно согнуть под прямым углом, то угол падения излучения из вещества сердцевины на оболочку оптоволокна будет слишком мал, и потери излучения значительно возрастут. Этого не произойдет при распространении электромагнитной волны по фотонно-кристаллическому волноводу, который будет удерживать излучение при любых углах изгиба. Помимо наличия запрещенных зон, фотонные кристаллы имеют ряд новых свойств по сравнению с традиционными оптическими материалами, что позволяет их использовать в качестве высокоэффективных светодиодов, трехмерных зеркал с высокой отражающей способностью и т. д. Одномерные фотонные кристаллы известны уже достаточно давно. К ним относятся различного рода многослойные покрытия, используемые в качестве диэлектрических зеркал и фильтров. Простейшим примером такого рода является брэгговский отражатель, представляющий собой последовательность пары плоскопараллельных пластин с толщинами
Для получения условия отражения электромагнитной волны удобно ввести средний показатель преломления брэгговского отражателя по формуле
Условие отражения Брэгга для плоской световой волны, падающей на отражатель Брэгга по нормали к его поверхности, имеет вид
где
– эффективный волновой вектор излучения в среде брэгговского отражателя. При записи формулы (4.92) учтено, что отражение излучения, падающего по нормали к границе раздела сред, сопровождается изменением знака проекции волнового вектора на нормаль. Равенства (4.90) – (4.93) дают следующее условие на частоту эффективного отражения:
Вблизи этой частоты коэффициент отражения рассматриваемой слоистой структуры равен единице. Брэгговское отражение можно интерпретировать как появление фотонной запрещенной зоны в одномерном фотонном кристалле, о чем говорилось выше. Спектр отражения света от брэгговского отражателя вместе с некоторыми другими связанными с ним зависимостями представлены на рис. 4.3. Этот рисунок, а также формулы (4.90) – (4.94) взяты из статьи М. Калитеевского, помещенной на интернет-сайте [11]. Из выражения (4.94) вытекает, что положение фотонной запрещенной зоны определяется периодом фотонного кристалла. В структуре с периодом один сантиметр фотонная запрещенная зона может возникнуть для частоты порядка 10 ГГц, фотонный кристалл для видимого диапазона должен иметь период порядка 100 нм, а обычный кристалл (например, NaCl) является фотонным кристаллом для рентгеновского излучения. В заключение отметим, что большой интерес к использованию фотонных кристаллов стимулируется бурным развитием технологий создания искусственных структур с размерами, лежащими в диапазоне длин волн видимого и инфракрасного излучения.
Рис. 4.3. Спектр отражения электромагнитного излучения от брэгговского отражателя (1-я (левая) четверть рисунка). Профиль поля электромагнитной волны в толще брэгговсого отражателя (вставка). Дисперсионная зависимость для света в брэгговском отражателе (2-я четверть рисунка). Тонкой линией показана дисперсия свободного фотона. Спектральная зависимость мнимого волнового вектора в области фотонной запрещенной зоны (3-я четверть рисунка). Спектр плотности фотонных состояний в брэгговском отражателе (4-я четверть рисунка)
|